Irrationalitätsmaß

Definition und Bedeutung

Das Irrationalitätsmaß oder der Irrationalitätsexponent μ(x) beschreibt, wie gut sich eine reelle Zahl x durch rationale Zahlen p/q annähern lässt. Es ist das Supremum, also die kleinste obere Schranke, aller reellen Exponenten σ, für die

0 < |x − p/q| < 1/q^σ

für unendlich viele natürliche Zahlen q gilt, wobei jeweils eine passende ganze Zahl p gewählt wird. Ein größeres Irrationalitätsmaß bedeutet, dass besonders genaue rationale Näherungen für x möglich sind.

Grundlegende Einteilung

Rationale Zahlen lassen sich in diesem Sinn am schlechtesten approximieren. Sie sind genau die reellen Zahlen mit Irrationalitätsmaß 1.

Jede irrationale Zahl besitzt nach dem dirichletschen Approximationssatz ein Irrationalitätsmaß von mindestens 2. Besonders gut approximierbar sind die Liouvilleschen Zahlen: Sie sind genau als diejenigen reellen Zahlen definiert, deren Irrationalitätsmaß unendlich ist, also μ(x) = ∞.

Algebraische und transzendente Zahlen

Eine algebraische Zahl ist eine Zahl, die Nullstelle eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten ist. Der Satz von Thue-Siegel-Roth besagt, dass algebraische reelle Zahlen ein Irrationalitätsmaß von höchstens 2 besitzen. Zusammen mit den allgemeinen unteren Schranken folgt:

μ(x) = 1 für x ∈ ℚ, μ(x) = 2 für x ∈ Q̄ \ ℚ.

Dabei bezeichnet ℚ die rationalen und Q̄ die algebraischen Zahlen. Algebraische irrationale Zahlen wie √2 und der goldene Schnitt haben somit genau das Irrationalitätsmaß 2.

Jede reelle Zahl mit Irrationalitätsmaß größer als 2 ist daher transzendent, also nicht algebraisch. Die Umkehrung gilt jedoch nicht: Auch die meisten transzendenten Zahlen haben Irrationalitätsmaß 2. Fast alle reellen Zahlen besitzen diesen Wert. Die Zahlen mit einem Irrationalitätsmaß ungleich 2 bilden eine Lebesgue-Nullmenge, sind aber dennoch überabzählbar, da es bereits überabzählbar viele Liouvillesche Zahlen gibt.

Bekannte Werte und Schranken

Für viele wichtige transzendente Zahlen ist das genaue Irrationalitätsmaß unbekannt; häufig kennt man nur untere und obere Schranken.

Genau den Wert 2 besitzen die Zahlen e^(2/k) und tan(1/k) für positive ganze Zahlen k. Für die Eulersche Zahl e wird dazu die Kettenbruchdarstellung

e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, …, 1, 2n, 1, …]

angegeben. Ebenso gilt

tan(1) = [1; 1, 1, 3, 1, 5, 1, 7, 1, …, 1, 2n+1, …].

Für weitere Zahlen nennt der Artikel die allgemeine untere Schranke 2 und folgende obere Schranken: μ(ln(2)) ≤ 3,57455…, μ(ln(3)) ≤ 5,11620…, μ(π) ≤ 7,10320…, μ(π²) ≤ 5,09541…, μ(arctan(1/2)) ≤ 9,27204…, μ(arctan(1/3)) ≤ 5,94202… und μ(ζ(3)) ≤ 5,51389…. Dabei ist ζ(3) die Apéry-Konstante.

Falls die Reihe Σ von n = 1 bis ∞ über 1/(n³ sin²(n)) konvergiert, ist das Irrationalitätsmaß von π sogar kleiner als 2,5. Diese bessere Aussage ist also an eine Bedingung geknüpft.

Als weitere Werte werden μ(C) = 3 für die Cahen-Konstante, μ(C₁₀) = 10 für die Champernowne-Zahl und μ(L) = ∞ für die Liouvillesche Konstante aufgeführt.

Beispiel einer Liouvilleschen Zahl

Die Liouvillesche Konstante L ist ein typisches Beispiel für eine Zahl mit unendlichem Irrationalitätsmaß. Sie ist definiert durch

L = Σ von j = 1 bis ∞ über 1/10^(j!) = 1/10¹ + 1/10² + 1/10⁶ + 1/10²⁴ + … = 0,1100010000000000000000010… .

Die immer größeren Lücken zwischen den nicht verschwindenden Dezimalstellen ermöglichen außergewöhnlich genaue rationale Näherungen; gemäß der angegebenen Einordnung gilt μ(L) = ∞.