Integralsinus

Definition und Bedeutung

Der Integralsinus ist eine durch ein Integral definierte mathematische Funktion. Er entsteht als Integral der Sinc-Funktion:

Si(x) := ∫₀ˣ si(t) dt = ∫₀ˣ (sin t)/t dt.

Dabei wird der Integrand an der Stelle t = 0 über seinen Grenzwert verstanden. Der Integralsinus ist wichtig, weil die Sinc-Funktion zwar eine einfache Darstellung besitzt, ihre Stammfunktion aber nicht durch elementare Funktionen ausgedrückt werden kann.

Eigenschaften und Reihenentwicklung

Für den Grenzwert des Integralsinus gilt:

limₓ→∞ Si(x) = ∫₀∞ sin(x)/x dx = π/2.

Eine im Artikel angegebene Herleitung schreibt sin(x)/x mithilfe der Exponentialfunktion als Doppelintegral und vertauscht anschließend die Integrationsreihenfolge:

∫₀∞∫₀∞ sin(x) exp(−xy) dy dx = ∫₀∞∫₀∞ sin(x) exp(−xy) dx dy = ∫₀∞ 1/(y² + 1) dy = π/2.

Mit der Darstellung

sin x = (1/(2i))(eⁱˣ − e⁻ⁱˣ)

und der Integralexponentialfunktion Ei folgt:

Si(x) = (1/(2i))(Ei(ix) − Ei(−ix)) + π/2.

Die Taylorreihe um x = 0 konvergiert kompakt und lautet:

Si(x) = x − x³/(3!·3) + x⁵/(5!·5) − x⁷/(7!·7) + ⋯ = Σₖ₌₀∞ [ (−1)ᵏ / ((2k+1)!·(2k+1)) ] x²ᵏ⁺¹.

Eng verwandt ist der Integralkosinus Ci(x). Zusammen bilden Si(x) und Ci(x) in parametrischer Darstellung eine Klothoide.

Spezielle Werte und verwandte Grenzwerte

Ein spezieller Funktionswert ist

Si(π) = 1,851937… .

Dieser Wert wird als Wilbraham-Gibbs-Konstante bezeichnet.

Weitere Grenzwerte verwandter Integrale sind:

• limₓ→∞ ∫₀ˣ sin²(t)/t² dt = π/2
• limₓ→∞ ∫₀ˣ sin³(t)/t³ dt = 3π/8
• limₓ→∞ ∫₀ˣ sin⁴(t)/t⁴ dt = π/3
• limₓ→∞ ∫₀ˣ sin⁶(t)/t⁶ dt = 11π/40.

Weitere Integralidentitäten

Weitere, auf der Exponentialfunktion basierende Integraldarstellungen für Integralsinus und Integralkosinus lassen sich in folgende Formen bringen:

∫₀∞ exp(−xy)/(y²+1) dy = (π/2) cos(x) − Si(x) cos(x) + Ci(x) sin(x),

∫₀∞ y exp(−xy)/(y²+1) dy = (π/2) sin(x) − Si(x) sin(x) − Ci(x) cos(x).

Durch Linearkombinationen und die Identität sin²(x) + cos²(x) = 1 erhält man:

Si(x) = π/2 − cos(x)∫₀∞ exp(−xy)/(y²+1) dy − sin(x)∫₀∞ y exp(−xy)/(y²+1) dy,

Ci(x) = sin(x)∫₀∞ exp(−xy)/(y²+1) dy − cos(x)∫₀∞ y exp(−xy)/(y²+1) dy.