Gruppenexponent

Definition und Bedeutung

Der Gruppenexponent \exp(G) einer Gruppe (G,\cdot,e) ist die kleinste natürliche Zahl n>0, für die

g^n=e

für jedes Gruppenelement g gilt. Dabei ist e das neutrale Element der Gruppe. Gibt es keine solche natürliche Zahl, hat die Gruppe den Exponenten \infty. Eine Gruppe mit Exponent \infty muss unendliche Ordnung haben.

Gleichwertig lässt sich der Gruppenexponent als das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Ordnungen aller Gruppenelemente verstehen. Die Ordnung eines Elements ist dabei die kleinste positive Zahl n, für die g^n=e gilt.

Zentrale Eigenschaften

Für den Gruppenexponenten gelten folgende Regeln:

• Nach dem Satz von Lagrange ist der Exponent einer endlichen Gruppe ein Teiler ihrer Gruppenordnung. Daher ist er bei jeder endlichen Gruppe endlich.

• In einer zyklischen Gruppe stimmt der Gruppenexponent mit der Gruppenordnung überein.

• Allgemeiner sind Gruppenordnung und Gruppenexponent genau dann gleich, wenn alle Sylowgruppen der Gruppe zyklisch sind. Sylowgruppen sind bestimmte Untergruppen, deren Ordnung jeweils eine maximale Primzahlpotenz innerhalb der Gruppenordnung ist.

• Der Exponent einer Untergruppe ist stets ein Teiler des Exponenten der gesamten Gruppe.

Endliche Beispiele

Bei der primen Restklassengruppe (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}, also der multiplikativen Gruppe der modulo n invertierbaren Restklassen, wird der Gruppenexponent durch die Carmichael-Funktion angegeben.

Ist p eine Primzahl, so hat (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times} den Exponenten p-1. Dieser stimmt hier mit der Gruppenordnung p-1 überein.

Dagegen besitzt (\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^{\times} die Gruppenordnung 4, aber nur den Gruppenexponenten 2.

Der Körper \mathbb{F}_q mit q=p^k Elementen hat, als additive Gruppe betrachtet, die Gruppenordnung q und den Gruppenexponenten p. Ursache dafür ist seine Primzahlcharakteristik p.

Unendliche Gruppen

Auch eine unendliche Gruppe kann einen endlichen Exponenten besitzen. Beispiele sind der Polynomring \mathbb{F}_p[X] und der algebraische Abschluss von \mathbb{F}_p, jeweils mit der Addition als Gruppenverknüpfung. Wegen der Primzahlcharakteristik p haben sie einen endlichen Exponenten.

Ein Gegenbeispiel ist die unendliche Torsionsgruppe \mathbb{Q}/\mathbb{Z}. In einer Torsionsgruppe hat jedes Element eine endliche Ordnung. Für ein Element m/n+\mathbb{Z}, wobei n>0 gilt und m und n teilerfremd sind, beträgt diese Ordnung genau n. Die möglichen Elementordnungen sind jedoch nicht nach oben beschränkt. Deshalb existiert kein gemeinsames endliches Vielfaches für alle Elementordnungen, und es gilt

\exp(\mathbb{Q}/\mathbb{Z})=\infty.