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Googol
Der systematische deutsche Name dieser Zahl ist zehn Sexdezilliarden (oder zehn Sedezilliarden). Der entsprechende Zahlenname gemäß der in den USA …
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Definition und Größenordnung
Ein Googol ist die Zahl 10^100. Im Dezimalsystem entspricht das einer 1 mit 100 Nullen. Der systematische deutsche Zahlenname lautet zehn Sexdezilliarden oder zehn Sedezilliarden; auf der in den USA verwendeten kurzen Skala heißt die Zahl englisch ten duotrigintillion, auch dotrigintillion. Diese theoretischen Bezeichnungen haben nur einen geringen praktischen Nutzen.
Der Begriff wurde ab 1938 durch den amerikanischen Mathematiker Edward Kasner etabliert. Das Wort hatte sein neunjähriger Neffe Milton Sirotta auf Kasners Bitte für 10^100 erfunden.
Mathematische Eigenschaften
Ein Googol ist kleiner als 70! („siebzig Fakultät“). Die Fakultät 70! ist das Produkt aller natürlichen Zahlen von 1 bis 70:
70! = 1 · 2 · 3 · … · 70 = 11.978.571.669.969.891.796.072.783.721.689.098.736.458.938.142.546.425.857.555.362.864.628.009.582.789.845.319.680.000.000.000.000.000 ≈ 1,19785717 × 10^100.
Daher gibt es mehr als ein Googol Möglichkeiten, 70 verschiedene Objekte unterschiedlich anzuordnen.
Die Anzahl der Protonen im sichtbaren Universum wird auf ungefähr 10^80 geschätzt und ist damit deutlich kleiner als ein Googol. Nach der Inflationstheorie könnte das gesamte Universum jedoch um viele Größenordnungen größer als der beobachtbare Teil sein. Deshalb ist seine Gesamtzahl an Protonen möglicherweise wesentlich größer als ein Googol.
Die einzigen Primfaktoren eines Googol sind 2 und 5. Die kanonische Primfaktorzerlegung lautet:
Googol = 2^100 · 5^100.
Auch der unmittelbare Vorgänger und der unmittelbare Nachfolger eines Googol sind keine Primzahlen.
Grenzen früher Taschenrechner
Wissenschaftliche Taschenrechner, die um 1975 aufkamen, konnten erstmals eine Mantisse mit 10 Ziffernstellen und einen Zehnerexponenten von −99 bis +99 anzeigen. Ihr größter darstellbarer Wert war 9,999999999 · 10^99. Ein Googol war deshalb knapp nicht anzeigbar; der Höchstwert lag nur um den 100-Billionsten Teil darunter.
Intern rechneten solche Geräte typischerweise mit drei zusätzlichen Stellen und näherten sich dem Googol dadurch bis auf sein 100-Billiardstel. Sie konnten 69! noch innerhalb weniger Sekunden berechnen. Beim Befehl für 70! entstand dagegen eine Fehlermeldung, weil das Ergebnis den darstellbaren Bereich überschritt.
Googolplex und noch größere Zahlen
Ein Googolplex ist als 10^Googol = 10^(10^100) definiert. Es handelt sich also um eine 1 mit 10^100 Nullen. Obwohl ein Googol bereits größer als die geschätzte Protonenzahl des sichtbaren Universums ist, erscheint es gegenüber einem Googolplex extrem klein.
Die Speicherbeispiele des Artikels verdeutlichen diese Größenordnung: Eine Zahl bis zu einem Googol, also 10^(10^2), benötigt in Ganzzahlarithmetik 42 Byte. Heimcomputer der 1980er Jahre erreichten ihre Grenze bei Zahlen um 10^(10^5), typische PC-Hauptspeicher der 2010er Jahre bei 10^(10^10) und Festplatten bei 10^(10^13). Die gesamte Menschheit verfügte 2019 über ungefähr 40 Zettabyte Speicher, ausreichend für Zahlen bis etwa 10^(10^23). Auch das bleibt weit unter einem Googolplex.
Die Benennung lässt sich fortsetzen: Ein Googolplexplex, auch Googolplexian genannt, ist 10^Googolplex. Ein Googolplexplexplex ist 10^Googolplexplex, ein Googolplexplexplexplex entsprechend 10^Googolplexplexplex.
Die Zahl Googolplex + 1 ist keine Primzahl. Einer ihrer Primfaktoren lautet 316.912.650.057.057.350.374.175.801.344.000.001.
Verallgemeinerung auf andere Zahlensysteme
Für ein Stellenwertsystem mit der Basis n wird ein Googol allgemein als eine 1 mit n² Nullen definiert. Als Formel gilt:
Googol(n) = n^(n²).
Beispiele:
• Googol(2) = 2^(2²) = 2^4 = 1.00.00₂ = 16₁₀.
• Googol(3) = 3^(3²) = 3^9 = 1.000.000.000₃ = 19.683₁₀.
• Googol(4) = 4^(4²) = 4^16 = 1.0000.0000.0000.0000₄ = 4.294.967.296₁₀.
• Googol(10) = 10^(10²) = 10^100.
Die Größe hängt somit stark von der Basis ab. Im Zweiersystem ist ein Googol lediglich 2^4 = 16 und ein Googolplex 2^16 = 65.536. Erst das Googolplexplex zur Basis 2 erreicht 2^65.536 ≈ 2,003530 · 10^19.728 und ist damit deutlich größer als ein dezimales Googol.
Mit wachsender Basis nehmen Googol und Googolplex sehr schnell zu. Ein Googolplex zur Basis 3 ist 3^19.683 ≈ 1,505416 · 10^9.391 und damit bereits größer als ein Googol im Dezimalsystem.