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Goldene Ellipse
Eine Goldene Ellipse ist eine Ellipse, bei der das Seitenverhältnis ihrer beiden Halbachsen a {\displaystyle a} {\displaystyle a} …
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Definition und Bedeutung
Eine Goldene Ellipse ist eine Ellipse, deren große Halbachse a und kleine Halbachse b im Verhältnis des Goldenen Schnitts stehen. Für positive reelle Zahlen a und b gilt daher:
a/b = Φ = (1 + √5)/2.
Flächengleiche Charakterisierung
Die Goldene Ellipse lässt sich auch über Flächen charakterisieren. Betrachtet werden ein Kreisring mit äußerem Radius a und innerem Radius b sowie eine Ellipse mit den Halbachsen a und b. Das Verhältnis a/b entspricht genau dann dem Goldenen Schnitt Φ, wenn der Kreisring und die Ellipse den gleichen Flächeninhalt haben.
Die Fläche des Kreisrings ist πa² − πb², die Fläche der Ellipse ist πab. Aus ihrer Gleichheit folgt:
πa² − πb² = πab ⇔ a² − ba − b² = 0 ⇔ a = (b/2) ± √(b²/4 + b²) ⇔ a = (1/2)(1 ± √5)·b.
Da a positiv sein muss, kommt nur die positive Lösung infrage. Nach der Division durch b erhält man:
a/b = (1/2)(1 + √5) = Φ.
Verbindung zum Goldenen Rechteck
Eine Goldene Ellipse kann in ein Goldenes Rechteck mit den Seitenlängen 2a und 2b einbeschrieben werden. Dabei berührt die Ellipse das Rechteck an den Endpunkten ihrer beiden Achsen.
