Gebietseinteilung

Grundidee und Zweck

Die Gebietseinteilung ist eine Methode der Kurvendiskussion. Sie markiert in einem Koordinatensystem Teilbereiche, in denen der Graph einer rationalen Funktion nicht verlaufen kann. Eine rationale Funktion ist hier eine Funktion der Form y = p(x)/q(x), wobei p und q Polynome sind. Mithilfe einiger geeigneter Punkte lässt sich der Verlauf des Graphen in den nicht ausgeschlossenen Gebieten anschließend vergleichsweise leicht skizzieren.

Vorbereitung der Funktion

Für die Gebietseinteilung wird die gebrochenrationale Funktion in zwei Formen dargestellt:

• Als echt gebrochenrationaler Term beziehungsweise in Produktform. Dazu werden die Polynome im Zähler und Nenner faktorisiert.
• Durch Polynomdivision, wenn der Zählergrad größer oder gleich dem Nennergrad ist.

Beispiel:

f(x) = (4x² + 8x − 12)/(x² − 1)

Da im Zähler größere oder gleich große Exponenten von x vorkommen, ist dies zunächst ein unecht gebrochener Term. Die Polynomdivision liefert den echt gebrochenen Term

4 + (8x − 8)/(x² − 1).

Die Produktform lautet

4(x + 3)(x − 1)/((x − 1)(x + 1)).

Vor der eigentlichen Gebietseinteilung wird außerdem eine Kurvendiskussion durchgeführt. Benötigt werden die Nullstellen, die Polstellen, die Symmetrie und das Verhalten der Funktion im Unendlichen.

Grenzen und Prüfung der Gebiete

Zuerst wird die Gleichung y = p(x)/q(x) mit dem Nenner multipliziert. Dadurch entsteht die bruchfreie Gleichung y · q(x) = p(x). Anschließend setzt man jeden einzelnen Linear faktor der Gleichung gleich null. Die daraus entstehenden Gleichungen beschreiben meist senkrechte, waagerechte oder winkelhalbierende Geraden. Diese werden als Grenzen in das Koordinatensystem eingezeichnet. Zwei Farben können dabei helfen, die Grenzen der linken und der rechten Seite zu unterscheiden. Schnittpunkte verschiedenfarbiger Grenzen sind Kurvenpunkte. Zu jeder Grenze wird ihr Wert notiert. Im Artikel wird als Beispiel angegeben, dass sich aus x² = 0 eine zweifache senkrechte Grenze bei x = 2 ergibt.

Danach wählt man einen Probepunkt, der nicht auf einer Grenze der ersten Gebietseinteilung liegen darf. Man setzt ihn in die Gleichung ein und betrachtet von jeder Seite nur, ob das Ergebnis positiv oder negativ ist. Haben die beiden Seiten unterschiedliche Vorzeichen, gibt es in dem Gebiet des Probepunkts keine Funktionswerte. Durch das Überschreiten einer einfachen Grenze gelangt man in ein Gebiet, in dem Kurvenpunkte liegen.

Verläuft die Kurve in einem Gebiet, ist ein weiterer Kurvenverlauf in einem benachbarten Gebiet ausgeschlossen, wenn beide Gebiete durch eine einfache, dreifache, fünffache oder allgemein eine ungerade Grenze voneinander getrennt sind.