Fundamentalpolygon

Begriff und Schreibweise

Ein Fundamentalpolygon beschreibt eine im topologischen Sinn geschlossene Fläche: Man nimmt ein Polygon mit einer geraden Anzahl von Seiten und identifiziert, also verklebt, seine Seiten paarweise.

Das Polygon wird durch eine Zeichenkette dargestellt. Jede Seite erhält ein Symbol; miteinander identifizierte Seiten tragen dasselbe Symbol. Der Exponent 1 oder −1 gibt die Orientierung der jeweiligen Seite an.

Kompakte Flächen ohne Rand

Nach dem Klassifikationssatz gehören kompakte Flächen ohne Rand zu drei Äquivalenzklassen, denen kanonische Formen von Fundamentalpolygonen zugeordnet sind:

• Sphäre: aa^{-1}
• Orientierbare Fläche vom Geschlecht n: a_{1}b_{1}a_{1}^{-1}b_{1}^{-1}a_{2}b_{2}a_{2}^{-1}b_{2}^{-1}\dots a_{n}b_{n}a_{n}^{-1}b_{n}^{-1}
• Nichtorientierbare Fläche vom Geschlecht n: a_{1}a_{1}a_{2}a_{2}\dots a_{n}a_{n}

Das Geschlecht n kennzeichnet dabei den jeweiligen Flächentyp innerhalb der orientierbaren beziehungsweise nichtorientierbaren Klasse.

Typische Beispiele

Wichtige Fundamentalpolygone sind:

• Sphäre: aa^{-1}
• Projektive Ebene: aa
• Torus: aba^{-1}b^{-1}
• Kleinsche Flasche: aba^{-1}b

Die Zeichenfolgen zeigen, welche Seiten miteinander verklebt werden und ob ihre Orientierungen übereinstimmen oder entgegengesetzt sind.

Kompakte Flächen mit Rand

Eine kompakte Fläche mit Rand besitzt zusätzlich eine bestimmte Anzahl k von Randkomponenten B_{1},\dots,B_{k}. Ihre kanonische Form entsteht, indem die Form der entsprechenden Fläche ohne Rand um die Ausdrücke c_{1}B_{1}c_{1}^{-1}\dots c_{k}B_{k}c_{k}^{-1} ergänzt wird.

• Sphäre mit k Randkomponenten: aa^{-1}c_{1}B_{1}c_{1}^{-1}\dots c_{k}B_{k}c_{k}^{-1}
• Orientierbare Fläche vom Geschlecht n mit k Randkomponenten: a_{1}b_{1}a_{1}^{-1}b_{1}^{-1}\dots a_{n}b_{n}a_{n}^{-1}b_{n}^{-1}c_{1}B_{1}c_{1}^{-1}\dots c_{k}B_{k}c_{k}^{-1}
• Nichtorientierbare Fläche vom Geschlecht n mit k Randkomponenten: a_{1}a_{1}\dots a_{n}a_{n}c_{1}B_{1}c_{1}^{-1}\dots c_{k}B_{k}c_{k}^{-1}