F-Verteilung

Grundidee und Bedeutung

Die F-Verteilung, auch Fisher-Verteilung oder Fisher-Snedecor-Verteilung, ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung auf positiven Zahlen. Sie wird durch zwei unabhängige Parameter beschrieben: m Freiheitsgrade im Zähler und n Freiheitsgrade im Nenner. Freiheitsgrade geben hier an, wie viele unabhängige Informationen in die zugrunde liegenden Größen eingehen.

Die Verteilung entsteht als Quotient zweier unabhängiger Chi-Quadrat-verteilter Zufallsvariablen, nachdem jede durch ihre Zahl an Freiheitsgraden geteilt wurde:

F_{m,n} = (χ²_m/m)/(χ²_n/n).

Dabei besitzen χ²_m und χ²_n jeweils m beziehungsweise n Freiheitsgrade. Diese Konstruktion erklärt, weshalb die F-Verteilung besonders für den Vergleich von Varianzen geeignet ist. Im F-Test wird geprüft, ob sich zwei Stichprobenvarianzen nur aufgrund statistischer Schwankungen unterscheiden oder ob der Unterschied auf verschiedene Grundgesamtheiten hinweist. Auch die Varianzanalyse verwendet eine F-Statistik, um signifikante Unterschiede zwischen Gruppen zu untersuchen.

Definition und zentrale Kennwerte

Eine stetige Zufallsvariable X folgt der F-Verteilung F(m,n), wenn sie für x > 0 die Dichte

f(x|m,n) = m^(m/2)n^(n/2) · Γ((m+n)/2)/[Γ(m/2)Γ(n/2)] · x^(m/2−1)/(mx+n)^((m+n)/2)

besitzt. Γ bezeichnet die Gammafunktion. Da die Verteilung aus einem Quotienten nichtnegativer Chi-Quadrat-Größen entsteht, liegt ihr Wertebereich im positiven Bereich.

Der Erwartungswert existiert nur für n > 2. Dann gilt:

E(F_{m,n}) = n/(n−2).

Die Varianz ist nur für n > 4 definiert und beträgt:

Var(F_{m,n}) = 2n²(m+n−2)/[m(n−2)²(n−4)].

Für m > 2 erreicht die Dichte ihr Maximum bei

x_max = n(m−2)/[m(n+2)].

Die Entropie, also ein Maß für die Unbestimmtheit der Verteilung, wird in nats angegeben. Mit der Digamma-Funktion ψ lautet sie:

H(X) = ln((n/m) · Γ(m/2)Γ(n/2)/Γ(m/2+n/2)) + (1−m/2)ψ(m/2) − (1+n/2)ψ(n/2) + (m+n)/2 · ψ((m+n)/2).

Verteilungsfunktion und Quantile

Die Verteilungsfunktion gibt die Wahrscheinlichkeit P(X ≤ x) an. Sie lässt sich mithilfe der regularisierten unvollständigen Betafunktion geschlossen darstellen:

F(x|m;n) = I(mx/(mx+n), m/2, n/2),

wobei

I(z,a,b) = 1/B(a,b) · ∫₀ᶻ t^(a−1)(1−t)^(b−1) dt

die regularisierte unvollständige Betafunktion ist. Ihre Werte werden meist numerisch berechnet.

Das p-Quantil x_p ist derjenige Wert, für den p = F(x_p|m,n) gilt. Mit der inversen regularisierten unvollständigen Betafunktion I⁻¹ erhält man

x_p = nI⁻¹(p,m/2,n/2) / [m(1−I⁻¹(p,m/2,n/2))].

Quantile werden üblicherweise in F-Verteilungstabellen für ausgewählte Wahrscheinlichkeiten sowie Freiheitsgrade m und n angegeben. Dabei hilft die Beziehung

F⁻¹(p;m;n) = 1/F⁻¹(1−p;n;m).

Sie verbindet ein Quantil mit dem Kehrwert eines Quantils, bei dem die beiden Freiheitsgrade vertauscht sind.

Für bestimmte Freiheitsgrade gibt es einfache explizite Formeln. Allgemein gilt beispielsweise

x_p(2,n) = n/2 · (1/(1−p)^(2/n) − 1)

und

x_p(m,2) = 2/m · p^(2/m)/(1−p^(2/m)).

Spezialfälle sind unter anderem x_p(1,1) = tan(πp/2)² und x_p(2,2) = p/(1−p). Für manche kleinen Kombinationen von m und n ist in der angegebenen Übersicht keine explizite invertierbare Formel verzeichnet.

Beziehungen zu anderen Verteilungen

Die F-Verteilung ist eng mit mehreren wichtigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen verbunden. Das Zeichen „∼“ bedeutet dabei „ist verteilt wie“.

Zur Beta-Verteilung: Für F_{m,n} ist die transformierte Zufallsvariable

Y = [(m/n)F_{m,n}]/[1+(m/n)F_{m,n}]

betaverteilt mit den Parametern m/2 und n/2, also Y ∼ Beta(m/2,n/2). Zugleich gilt

Y ∼ χ²_m/(χ²_m+χ²_n),

wenn die beiden Chi-Quadrat-Größen unabhängig sind.

Zur Chi-Quadrat-Verteilung: Sind χ²_m und χ²_n unabhängig und besitzen m beziehungsweise n Freiheitsgrade, so ist

(χ²_m/m)/(χ²_n/n) ∼ F(m,n).

Zur Normalverteilung: Seien X₁,…,X_m und Y₁,…,Y_n unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen mit E(X_i)=μ, Var(X_i)=σ² sowie E(Y_j)=ν, Var(Y_j)=τ². Für ihre unabhängigen Stichprobenvarianzen S_X² und S_Y² gilt

S_X²/σ² ∼ χ²_{m−1}/(m−1), S_Y²/τ² ∼ χ²_{n−1}/(n−1).

Daher folgt

F = (S_X²/σ²)/(S_Y²/τ²)

einer F-Verteilung mit m−1 Freiheitsgraden im Zähler und n−1 Freiheitsgraden im Nenner. Dies ist die Grundlage für den statistischen Vergleich von Varianzen.

Zur Studentschen t-Verteilung: Wenn X ∼ t_n gilt, dann ist X² ∼ F(1,n). Das Quadrat einer t-verteilten Zufallsvariablen mit n Freiheitsgraden besitzt somit eine F-Verteilung mit einem Freiheitsgrad im Zähler und n Freiheitsgraden im Nenner.

Nichtzentrale Form und Herleitung der Dichte

Die nichtzentrale F-Verteilung verallgemeinert die zentrale F-Verteilung. Sind X ∼ χ²(δ,m) und Y ∼ χ²(n) unabhängig, wobei χ²(δ,m) eine nichtzentrale Chi-Quadrat-Verteilung mit Nichtzentralitätsparameter δ und m Freiheitsgraden ist, dann gilt für

Z = (X/m)/(Y/n):

Z ∼ F(δ,m,n).

Für δ = 0 entsteht wieder die zentrale F-Verteilung F(m,n). Die Dichte der nichtzentralen Form lautet

g(z|m,n,δ) = f(z|m,n) · e^(−δ/2) · ₁ℱ₁((m+n)/2, m/2, mzδ/[2(mz+n)]).

Dabei bezeichnet ₁ℱ₁ die spezielle hypergeometrische oder Kummersche Funktion, während f die Dichte der zentralen F-Verteilung ist. Erwartungswert und Varianz sind

E(Z) = n(1+δ/m)/(n−2) für n > 2

und

Var(Z) = 2n²[m(1+δ/m)²+(n−2)(1+2δ/m)]/[m(n−2)²(n−4)] für n > 4.

Für δ → 0 gehen beide Ausdrücke in die entsprechenden Formeln der zentralen F-Verteilung über.

Die zentrale Dichte kann aus der gemeinsamen Dichte der unabhängigen Variablen χ²_m und χ²_n hergeleitet werden. Dazu führt man die Transformation

f = (x/m)/(y/n), v = y

ein. Die zugehörige Jacobideterminante, welche die Änderung des Flächenelements bei der Transformation berücksichtigt, ist (m/n)v. Nach Einsetzen in die gemeinsame Dichte erhält man die gemeinsame Dichte von F und χ²_n. Anschließend wird über die nicht interessierende Variable v von 0 bis ∞ integriert. Diese Randverteilung ergibt genau

g_{m,n}(f) = m^(m/2)n^(n/2) · Γ(m/2+n/2)/[Γ(m/2)Γ(n/2)] · f^(m/2−1)/(mf+n)^((m+n)/2),

also die definierende Dichte der F-Verteilung.