Digitaler Regler

Aufgabe und Aufbau digitaler Regler

Ein digitaler Regler steuert meist eine kontinuierlich wirkende analoge Regelstrecke, etwa für Temperatur, Kraft, Druck, Geschwindigkeit oder Niveau. Er erhält wie ein analoger Regler die Regelabweichung e(t)=w(t)-y(t): Führungsgröße w(t) minus zurückgeführte Regelgröße y(t). Sein Regelalgorithmus bestimmt, wie sich die Regelgröße der Führungsgröße annähern soll, meist asymptotisch stabil.

Das analoge Eingangssignal wird periodisch abgetastet, durch einen A/D-Wandler digitalisiert und als Eingangsfolge e₍k₎ verarbeitet. Ein Mikrocomputer berechnet daraus mit Differenzengleichungen die Stellgrößenfolge u₍k₎. Ein D/A-Wandler und ein Halteglied wandeln diese Folge in ein gestuftes, quasi kontinuierliches Signal u(t) für die Regelstrecke um. Das Halteglied hält jeden Ausgangswert bis zur nächsten Abtastung.

Digitale Regler erlauben einmaligen Hardware-Entwicklungsaufwand, Änderungen von Parametern und Strukturen per Software, komplexe Regler wie Zustands-, adaptive, Prädiktor- und dead-beat-Regler sowie Multitasking. Sie können bei hohen Stückzahlen wirtschaftlich sein. Nachteile sind Quantisierungsfehler, Totzeiten durch Abtastung, Wandlung und Rechenzeit sowie Material- und Zeitaufwand bei kleinen Stückzahlen. Analoge Regler sind besonders dort vorteilhaft, wo Bedingungen unverändert bleiben, sehr kurze Ansprechzeiten oder maximales Echtzeitverhalten erforderlich sind oder Nichtangreifbarkeit zentral ist.

Abtastung, Wertefolgen und Abtasttheorem

Eine Wertefolge ist eine endliche oder unendliche Folge nummerierter Werte. Die Abtastfolge k=(0,1,2,3,… ) nummeriert die Werte des Eingangs und Ausgangs. Im Online-Betrieb ist k unbegrenzt; praktisch müssen bei Differenzengleichungen erster Ordnung nur der aktuelle und der vorherige Wert gespeichert werden, zum Beispiel u₍k₎ und u₍k−1₎.

Die reale Abtastzeit heißt T_A, auch T₀ oder T; die Abtastfrequenz ist f_A=1/T_A. Für die Regelabweichung gilt beispielsweise e(t)=w(t)-y(t) → e(k·T_A)=e₍k₎=[e(0),e(T_A),e(2T_A),…]. Ein normierter δ-Impuls besitzt bei k=0 den Wert 1 und sonst den Wert 0. Beim Euler-Rückwärts-Verfahren als Obersumme wird dieser Wert erfasst, bei Verfahren der Untersumme nicht.

Nach dem Nyquist-Shannon-Abtasttheorem muss ein auf f_max bandbegrenztes harmonisches Signal mit mindestens 2·f_max abgetastet werden, damit es aus dem zeitdiskreten Signal exakt rekonstruierbar ist: f_A>2·f_max. Bei Unterschreitung entsteht der Alias-Effekt. Reale Signale enthalten viele Frequenzen; deshalb soll vor dem A/D-Wandler ein Tiefpass als Anti-Aliasing-Filter hohe Frequenzanteile verringern. Praktisch wird f_A meist auf das 5- bis 10-Fache von f_max gewählt. Sehr schnelle Regelstrecken begrenzen jedoch die mögliche Abtastung durch Schnittstellen- und Rechenleistung.

Differenzengleichungen und Systemmodelle

Ein System besitzt mindestens einen Signal-Eingang und einen Signal-Ausgang. Dynamische Systeme haben Energiespeicher und damit Zeitverhalten; statische Systeme haben kein Zeitverhalten. Kontinuierliche lineare dynamische Systeme werden mit Differentialgleichungen und im Laplace-Bereich durch die Übertragungsfunktion G(s)=Y(s)/U(s)=Zählerpolynom(s)/Nennerpolynom(s) beschrieben.

Durch Nullstellenzerlegung lassen sich Zähler und Nenner in Linearfaktoren zerlegen. Pole sind Nullstellen des Nenners, Nullstellen diejenigen des Zählers. Negative Realteile von Polen und Nullstellen bedeuten stabile Elementarsysteme, positive Realteile instabile. Wesentliche Grundformen sind G₁(s)=T·s: im Zähler D-Glied, im Nenner I-Glied; G₂(s)=T·s+1: im Zähler PD-Glied, im Nenner PT1-Verzögerung; und G₃(s)=T²·s²+2·D·T·s+1: im Zähler PD2-Glied, im Nenner bei 0<D<1 ein PT2-Schwingungsglied. T ist die Zeitkonstante, D der Dämpfungsgrad.

Differenzengleichungen nähern Differentialgleichungen an, indem Differentialquotienten durch Differenzenquotienten ersetzt werden. Beim Euler-Rückwärts-Verfahren gilt Δy/Δt=[y₍k₎−y₍k−1₎]/Δt. Allgemein kann ein System erster Ordnung so geschrieben werden: y₍k₎=y₍k−1₎+f[u₍k₎; Δt; System]. Die aktuelle Berechnung bezieht sich rekursiv auf frühere Werte; bei höherer Ordnung auf mehrere frühere Werte.

Beispiel I-Glied: Aus G(s)=1/(T_I·s) und T_I·ẏ(t)=u(t) folgt y₍k₎=y₍k−1₎+u₍k₎·Δt/T_I. Weitere Gleichungen sind: P-Glied y₍k₎=K·u₍k₎; D-Glied y₍k₎=[u₍k₎−u₍k−1₎]·T/Δt; PT1-Glied y₍k₎=y₍k−1₎+[K·u₍k₎−y₍k−1₎]·Δt/(T+Δt). Nichtlinearitäten können durch logische Funktionen oder Tabellenwerte ergänzt werden. Neben Euler-Rückwärts sind etwa Heun- und Runge-Kutta-Verfahren möglich; sie sind aufwendiger, können aber bei gleicher Genauigkeit weniger Rekursionsschritte benötigen.

Simulation und reale Online-Regelung

Bei einer Offline-Simulation wird ein mathematisches Modell von Regler, Regelstrecke und gegebenenfalls Totzeit im Rechner berechnet. Die diskrete Zeit Δt ist dabei nur ein Zahlenparameter, keine reale Zeit. Für k=(0,1,2,…,k_max) werden alle Werte in Tabellen gespeichert; der betrachtete Zeitraum beträgt k_max·Δt. In einem Regelkreis wird die Rückführung mit e₍k₎=w₍k₎−y₍k−1₎ geschlossen. Reihengeschaltete Teilsysteme werden nacheinander berechnet, wobei der Ausgang eines Teilsystems Eingang des nächsten ist; parallele Ausgänge werden addiert. Eine Totzeit T_t kann durch Rückwärtsverschiebung um T_t/Δt Schritte nachgebildet werden.

Im Online-Prozess dagegen ist T_A reale Zeit. Der Digitalregler muss die Eingangsfolge fortlaufend abtasten, innerhalb jedes Takts berechnen und die Ausgangsfolge ausgeben. Die Schnittstellen, das Halteglied und die Rechenzeit verursachen eine Ersatztotzeit. Sie ist bei schnellen Strecken besonders bedeutsam; bei einer dominanten Zeitkonstante T_D=1 s kann beispielsweise eine Totzeit von 0,01 sec meist vernachlässigbar sein.

Für eine ausreichend genaue Simulation muss Δt kleiner als die kleinste Systemzeitkonstante T_min sein; empfohlen wird Δt als ein Hundertstel bis ein Tausendstel der dominanten Zeitkonstante. Für Euler-Rückwärts gilt näherungsweise F_A≈Δt·100 %/T_D sowie Δt≪T_D und Δt<T_min. Bei sehr großer Kreisverstärkung K soll zur Vermeidung numerischer Instabilität Δt<T_D/K gelten. Im Online-Betrieb steigen Genauigkeit und Rechenaufwand bei kleinerem T_A; außerdem bleibt die durch Hardware verursachte Totzeit zu beachten.

Standardregler und z-Transformation

Für Standardregler lautet die Regelabweichung e₍k₎=w₍k₎−y₍k−1₎. Beim P-Regler gilt u₍k₎=K·e₍k₎. Der I-Regler arbeitet mit u₍k₎=u₍k−1₎+e₍k₎·Δt/T_N, wobei T_N die Nachstellzeit ist. Sein I-Anteil kann eine bleibende Regelabweichung gegen Null führen.

Ein PD1-Regler mit Vorhaltezeit T_V wird durch u₍k₎=K_PD1·[e₍k₎+(e₍k₎−e₍k−1₎)·T_V/Δt] beschrieben. PI- und PID-Regler können als Reihenstruktur aus mehreren Elementargleichungen umgesetzt werden. Beim PI-Regler wird zunächst e₁₍k₎=e₁₍k−1₎+e₍k₎·K_PI·Δt/T_N berechnet, danach u₍k₎=e₁₍k₎+[e₁₍k₎−e₁₍k−1₎]·T_N/Δt. Ein PID-Regler ergänzt zwei hintereinander geschaltete PD-Glieder mit den Zeitkonstanten T₁ und T₂. In der Reihendarstellung können PD1-Glieder Verzögerungen von PT1-Gliedern der Strecke bei gleichen Zeitkonstanten kompensieren: (T_V·s+1)/(T_N·s+1)=1 für T_V=T_N.

Eine weitere Methode ist die z-Transformation. Sie überträgt Abtastfolgen in den z-Bereich ähnlich wie die Laplace-Transformation Differentialgleichungen in den s-Bereich überträgt. Dabei lassen sich Abtastung, Haltefunktionen, A/D- und D/A-Wandlung, Rechenzeit und Regelalgorithmus als z-Übertragungsfunktionen zusammenfassen. Die inverse z-Transformation liefert die benötigte Differenzengleichung. Das Verfahren unterstützt unter anderem Verschiebungen, Summen, Differenzen, Pol-Nullstellenzerlegung und Stabilitätsbetrachtungen, verlangt aber umfangreiches mathematisches Spezialwissen.

Parametrierung und Wahl des Reglers

Für den Entwurf wird die Regelstrecke zunächst über ihre normierte Sprung- oder δ-Impulsantwort identifiziert. Verzögerungen erster Ordnung werden mit Differenzengleichungen nachgebildet, Verzögerungen höherer Ordnung gegebenenfalls als Totzeit; bei globalem I-Verhalten wird der Gradient ermittelt. Danach können PD1-Glieder des Reglers PT1-Glieder der Strecke durch gleiche Zeitkonstanten kompensieren. Abweichungen von etwa 10 % der Zeitkonstanten gelten als akzeptierbar.

P- und PD-Regler sind schnelle Regler für einfache Strecken oder Strecken mit globalem I-Verhalten. Die zulässige P-Verstärkung bestimmt bei Strecken ohne I-Verhalten die bleibende Regelabweichung. Eine zu hohe Verstärkung kann Stellgrößenbegrenzungen auslösen; der Regelkreis wird dann träge und nichtlinear, sodass die Übertragungsfunktion G(s) des geschlossenen Kreises nicht mehr gilt.

Soll die statische Regelabweichung verschwinden, ist ein I-Anteil erforderlich; I-, PI- und PID-Regler sind jedoch nicht schnell und können wegen der zusätzlichen Polstelle leichter zu Schwingungen neigen. Regelstrecken mit nennenswerter Totzeit benötigen einen PI-Regler oder im Extremfall einen I-Regler. Die P-Verstärkung und weitere Parameter können mit einer Simulation anhand der gewünschten Sprungantwort der Regelgröße bestimmt werden. Bei digitalen Reglern für schnelle Strecken ist die Schnittstellen-Totzeit als Teil des Streckenverhaltens zu berücksichtigen.

Bei Rechteckapproximationen bezeichnet Obersumme einen Verlauf oberhalb, Untersumme einen Verlauf unterhalb der analytischen Funktion. Die Ausgangsfolge der Untersumme ist gegenüber der Obersumme um einen Folgeschritt verzögert. Erst das Halteglied eines Digitalreglers macht aus einzelnen Berechnungspunkten einen zeitlich geschlossenen gestuften Verlauf.