Chi-Quadrat-Test

Grundidee und Testentscheidung

Der Chi-Quadrat-Test (χ²-Test) ist eine Gruppe von Hypothesentests der mathematischen Statistik, deren Testprüfgröße annähernd einer Chi-Quadrat-Verteilung folgt. Er prüft, ob beobachtete Häufigkeiten ausreichend gut zu einer Annahme passen. Wichtige Formen sind der Verteilungstest, der Unabhängigkeitstest und der Homogenitätstest. Karl Pearson beschrieb Test und Teststatistik erstmals 1900.

Die Testentscheidung folgt meist demselben Prinzip: Große Abweichungen zwischen beobachteten und unter der Nullhypothese erwarteten Häufigkeiten führen zu einer großen Prüfgröße. Der Ablehnungsbereich liegt daher rechts. Bei Signifikanzniveau α wird die Nullhypothese abgelehnt, wenn die Prüfgröße größer als das passende (1−α)-Quantil der Chi-Quadrat-Verteilung ist. Dieses Quantil hängt von den Freiheitsgraden ab; bei 2 Freiheitsgraden und α = 1 % beträgt es beispielsweise 9,21.

Verteilungstest

Der Verteilungstest, auch Anpassungstest, untersucht, ob ein Merkmal X einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeitsverteilung F₀(x) folgt. Die Nullhypothese lautet: H₀: Das Merkmal X besitzt die Wahrscheinlichkeitsverteilung F₀(x).

Bei n unabhängigen Beobachtungen werden die Werte m Kategorien oder Klassen zugeordnet. Nⱼ ist die beobachtete Häufigkeit der Kategorie j. Unter H₀ wird zunächst die Wahrscheinlichkeit p₀ⱼ für diese Kategorie bestimmt. Die erwartete absolute Häufigkeit ist n₀ⱼ = p₀ⱼ · n. Die Prüfgröße lautet:

X² = ∑ⱼ₌₁ᵐ (Nⱼ − n₀ⱼ)² / n₀ⱼ.

Bei ausreichend großen Häufigkeiten ist sie annähernd χ²-verteilt mit m−1 Freiheitsgraden. H₀ wird bei X² > χ²_(1−α;m−1) abgelehnt. Werden w Verteilungsparameter aus der Stichprobe geschätzt, bleiben m−w−1 Freiheitsgrade; bei einer Normalverteilung gilt w = 2, wenn Erwartungswert μ und Varianz σ² geschätzt werden.

Jede erwartete Häufigkeit muss eine Mindestgröße erreichen; Lehrwerke nennen 1 oder 5. Kleine Kategorien können zusammengefasst werden. Als Alternativen nennt der Artikel den Cash-Test und den G-Test: Der G-Test ist korrekt, wenn die gesamte Stichprobengröße durch das Studiendesign festgelegt ist; der Cash-Test passt zu Stichproben mit vor der Messung unbekannter Größe.

Beispiel einer Verteilungsprüfung

Für die Umsätze von 197 börsennotierten Unternehmen wurden Klassen gebildet und eine Normalverteilung geprüft. Aus der Stichprobe wurden μ̂ = x̄ = 6892 und σ̂ = s = 14984 geschätzt. Damit lautet H₀: X ist normalverteilt mit μ = 6892 und σ = 14984.

Für die Klasse bis 0 Mio. € ergibt sich p₀₁ = Φ(−0,46) = 0,3228 und damit n₀₁ = 63,59. Für das Intervall 0 bis 5000 Mio. € gilt p₀₂ = 0,1270 und n₀₂ = 25,02. Beobachtet wurden dort jedoch 148 Unternehmen. Insgesamt ergab sich X² = 710,79. Bei α = 0,05 und 9−3 = 6 Freiheitsgraden beträgt der kritische Wert 12,59. Weil 710,79 > 12,59, wird H₀ abgelehnt: Die Umsätze gelten in der Grundgesamtheit nicht als normalverteilt.

Nach Logarithmierung der Daten konnte die Nullhypothese der Normalverteilung bei Signifikanzniveau 0,05 nicht verworfen werden. Unter der Voraussetzung, dass die logarithmierten Umsätze tatsächlich normalverteilt sind, sind die ursprünglichen Umsätze logarithmisch normalverteilt. In Deutschland wurde der Test außerdem im Zusammenhang mit dem Benfordschen Gesetz als Mittel bestätigt, mit dem eine Finanzbehörde die Ordnungsmäßigkeit der Kassenführung beanstanden kann; seine Anwendbarkeit ist dabei eingeschränkt.

Unabhängigkeits- und Homogenitätstest

Der Unabhängigkeitstest prüft in einer Kontingenztafel, ob zwei Merkmale X und Y stochastisch unabhängig sind. H₀ lautet: X und Y sind stochastisch unabhängig. Für die beobachtete Zellhäufigkeit nⱼₖ, die Zeilensumme nⱼ·, die Spaltensumme n·ₖ und den Gesamtumfang n lautet die bei Unabhängigkeit erwartete Häufigkeit:

n*ⱼₖ = nⱼ· · n·ₖ / n.

Die Prüfgröße ist X² = ∑ⱼ₌₁ᵐ ∑ₖ₌₁ʳ (nⱼₖ − nⱼₖ)² / nⱼₖ und hat bei ausreichend großen erwarteten Häufigkeiten (m−1)(r−1) Freiheitsgrade. H₀ wird bei X² > χ²_(1−α;(m−1)(r−1)) abgelehnt. Sind erwartete Häufigkeiten zu klein, können Kategorien zusammengefasst werden; alternativ kann die Verteilung der Teststatistik unter den gegebenen Randverteilungen per Bootstrapping untersucht werden. Im Bankbeispiel ergab sich nach Zusammenfassung der Noten 3–6 X² = 167,187. Der kritische Wert bei α = 0,05 und 4 Freiheitsgraden ist 9,488; die beiden Zufriedenheitsmerkmale werden daher als assoziiert vermutet.

Der Homogenitätstest vergleicht m ≥ 2 unabhängige Stichproben eines diskreten Merkmals. H₀: X₁,…,Xₘ sind identisch verteilt, also F₁ = F₂ = … = Fₘ. Die erwartete Zellhäufigkeit lautet Eᵢⱼ = nᵢ· · n·ⱼ / n; die Prüfgröße χ² = ∑ⱼ₌₁ᵏ ∑ᵢ₌₁ᵐ (nᵢⱼ − Eᵢⱼ)² / Eᵢⱼ. Abgelehnt wird H₀ bei X² > χ²_((k−1)(m−1);1−α). Bedingungen sind n > 30, Eᵢⱼ ≥ 1 für alle Zellen und Eᵢⱼ > 5 in mindestens 80 % der Zellen; Rinne (2003) und Voß (2000) fordern zusätzlich nᵢⱼ ≥ 10. Die Klassierung vieler Ausprägungen kann das Testergebnis beeinflussen. Inhaltlich ist der Homogenitätstest als Unabhängigkeitstest mit Stichprobe als zweitem Merkmal und als Vergleich mehrerer empirischer Verteilungen auffassbar; anders als die beiden Einstichprobenprobleme ist er ein Mehrstichprobenproblem.

Vierfeldertest und Alternativen

Der Chi-Quadrat-Vierfeldertest prüft bei zwei dichotomen Merkmalen in einer 2×2-Kontingenztafel, ob sie unabhängig sind oder ob ein dichotomes Merkmal in zwei Gruppen gleich verteilt ist. Mit den Zellen a, b, c, d und n = a+b+c+d lautet die Prüfgröße:

X² = n·(a·d−c·b)² / ((a+c)·(b+d)·(a+b)·(c+d)) ~ χ²₁.

Sie hat näherungsweise einen Freiheitsgrad und soll nur verwendet werden, wenn jede der beiden Stichproben mindestens sechs Beobachtungen enthält. Als Faustregel soll der Erwartungswert jeder der vier Zellen mindestens 5 sein; er ist Zeilensumme · Spaltensumme / Gesamtzahl. Bei kleineren Erwartungswerten wird der Exakte Fisher-Test empfohlen. Ein Prüfwert kleiner als der kritische Wert weist keinen signifikanten Unterschied nach; ein größerer oder gleicher Wert bedeutet einen signifikanten Unterschied. Für Prüfgrößen zwischen 2,0 und 8,0 ist die p-Wert-Näherung p = 1/2 · 10^(−χ̂²/3,84) gut.

Bei je 50 Frauen und Männern mit 25 bzw. 30 Rauchenden ergab sich ungefähr X² = 1, kleiner als 3,841: Die Unabhängigkeit kann nicht verworfen werden. Bei je 500 Personen ergab sich X² = 1000/99 ≈ 10,1; weil 10,1 > 3,841, wird die Unabhängigkeit bei α = 0,05 abgelehnt.

Die Yates-Stetigkeitskorrektur verwendet χ²_Yates = ∑ⱼ₌₁ᵐ (|Nⱼ−nⱼ|−0,5)² / nⱼ. Der Chi-Quadrat-Test ist verbreitet, aber bei kleinen Zellwerten (Faustregel xᵢⱼ < 5) problematisch. Der G-Test ist ebenfalls annähernd χ²-verteilt und bei seltenen Ereignissen robust; in der Computerlinguistik wird er für seltene Wörter und Textbausteine genutzt. Laut Artikel lassen sich heute beide Tests durch den Exakten Test nach Fisher ersetzen.