CKM-Matrix

Bedeutung und Definition

Die Cabibbo-Kobayashi-Maskawa-Matrix (CKM-Matrix, V_UD) ist eine unitäre 3×3-Matrix im Standardmodell der Teilchenphysik. Sie beschreibt, mit welchen statistischen Anteilen sich Quarks durch die Wechselwirkung mit einem geladenen W-Boson in andere Quarks umwandeln können. Deshalb heißt sie auch Quark-Mischungsmatrix.

Es gibt drei Quarkgenerationen. Zu jeder Generation gehört ein u-Typ-Quark mit der elektrischen Ladung +2⁄3 e und ein d-Typ-Quark mit der Ladung −1⁄3 e. Wenn sich ein u-Typ-Quark u_i unter Emission eines W⁺-Bosons in ein d-Typ-Quark d_j umwandelt, entspricht |V_ij|² der geeignet normierten Übergangswahrscheinlichkeit. Umgekehrt beschreibt |V_ij|² auch die Wahrscheinlichkeit für den Übergang von d_j zu u_i unter Emission eines W⁻-Bosons.

Die physikalisch eindeutige CKM-Matrix wird durch drei reelle Parameter und eine komplexe Phase beschrieben. Weitere fünf mathematisch mögliche Phasen haben keine physikalische Bedeutung. Die komplexe Phase ist für die CP-Verletzung der schwachen Wechselwirkung verantwortlich. Eine solche physikalische Phase kann erst bei mindestens drei Quarkgenerationen auftreten. Für zwei Generationen gäbe es nur einen Mischungswinkel, den Cabibbo-Winkel.

Die CKM-Matrix ist eine Quark-Analogie zur leptonischen Mischungsmatrix der Neutrinos, der Pontecorvo-Maki-Nakagawa-Sakata-Matrix (PMNS-Matrix).

Quarkzustände und Transformationen

Die CKM-Matrix beschreibt den Zusammenhang zwischen den Flavour-Anteilen eines Anfangs- und eines Endzustands, wenn der Übergang vollständig durch einen Flavour-ändernden geladenen Strom, also durch eine W-Boson-Wechselwirkung erster Ordnung, verursacht wird. In der üblichen Darstellung gilt für einen Anfangszustand, der nur d-Typ-Quarks enthält:

V_UD · (⟨d|D_init⟩, ⟨s|D_init⟩, ⟨b|D_init⟩)ᵀ = (⟨u|U_end⟩, ⟨c|U_end⟩, ⟨t|T_end⟩)ᵀ.

Die Matrix lautet

V_UD = [[V_ud, V_us, V_ub], [V_cd, V_cs, V_cb], [V_td, V_ts, V_tb]].

Eine entsprechende Gleichung gilt auch für einen Anfangszustand, der nur u-Typ-Quarks enthält. Experimentell und theoretisch unterscheidet sich die CKM-Matrix von der Einheitsmatrix: V_UD ≠ 1^(3×3). Die elektroschwache Wechselwirkung vermischt daher die drei Quarkgenerationen. Die Zuordnung zu den Generationen erfolgt experimentell über die deutlich verschiedenen Quarkmassen.

Man kann die Bezugssysteme jedoch so wählen, dass die Wechselwirkung durch die Einheitsmatrix beschrieben wird. Dafür verwendet man die Eigenzustände der elektroschwachen Wechselwirkung, zum Beispiel |d_w⟩, |u_w⟩ und entsprechend |s_w⟩, |b_w⟩, |c_w⟩ und |t_w⟩. Die CKM-Matrix entsteht dann als Produkt zweier unitärer Transformationsmatrizen, die für u-Typ- beziehungsweise d-Typ-Quarks die Eigenzustände der schwachen Wechselwirkung mit den Masse- bzw. Flavour-Eigenzuständen verbinden:

V_UD ≡ A_(U_w U)† A_(D_w D).

Außerdem kann V_UD als Transformationsmatrix zwischen den d-Typ-Zuständen |d⟩, |s⟩, |b⟩ und geeigneten Zuständen |d′⟩, |s′⟩, |b′⟩ aufgefasst werden. Diese Zustände koppeln bei der W-Boson-Wechselwirkung jeweils genau und vollständig an |u⟩, |c⟩ beziehungsweise |t⟩. Die Notation |d′⟩ kann in verschiedenen Zusammenhängen verwendet werden und bezeichnet nicht immer dieselben Zustände.

Unitarität und Messwerte

Im theoretischen Sinn ist die CKM-Matrix unitär, weil sie als Produkt zweier unitärer Transformationsmatrizen definiert ist. Die experimentell aus Übergangswahrscheinlichkeiten bestimmte Matrix muss dagegen nicht von vornherein unitär sein. Es ist eine experimentell überprüfbare, nicht triviale Vorhersage des Standardmodells, dass sie tatsächlich eine unitäre 3×3-Matrix bildet und dass drei Quarkgenerationen die beobachteten Änderungen des Quarkflavour-Gehalts quantitativ beschreiben.

Eine wichtige Teilbedingung ist die Diagonalbedingung:

Σₖ₌₁³ |V_ik|² = Σₙ₌₁³ |V_nj|² = 1.

Sie gilt für jeden einzelnen Quarkflavour u_i oder d_j. Physikalisch entspricht sie der schwachen Universalität: Die gesamte Wechselwirkungsstärke für Flavour-Änderungen ist für alle Quarks gleich und muss bei der Normierung nicht gesondert berücksichtigt werden. Außerdem folgt die Erwartung, dass Flavour-Änderungen – abgesehen von Paarerzeugung und Paarvernichtung – ausschließlich durch die elektroschwache Wechselwirkung innerhalb der drei Quarkgenerationen erfolgen.

Die Beträge der CKM-Koeffizienten sind:

(|V_ij|) = [[0,97434(16), 0,22500(67), 0,00369(11)], [0,22486(67), 0,97349(16), 0,04182(−74^+85)], [0,00857(−18^+20), 0,04110(−72^+84), 0,999118(−36^+31)]].

Die Werte zeigen eine deutliche Hierarchie: Übergänge innerhalb derselben Generation sind bevorzugt, da die Diagonalelemente nahe bei eins liegen. Übergänge zwischen Generationen sind unterdrückt; die Unterdrückung wird von 1↔2 über 2↔3 bis 1↔3 stärker.

Freie Parameter und Standardform

Eine komplexe N×N-Matrix besitzt 2N² reelle Parameter. Die Unitarität fordert Σₖ V_ik V_jk* = δ_ij und liefert N² Bedingungen. Damit bleiben zunächst N² Parameter. Da jedes Quarkfeld eine Phase absorbieren kann und eine globale Phase unbeobachtbar ist, werden weitere 2N−1 Parameter entfernt. Insgesamt bleiben (N−1)² freie physikalische Parameter.

Davon sind N(N−1)/2 Quarkmischungswinkel. Die übrigen (N−1)(N−2)/2 Parameter sind komplexe Phasen, die CP-Verletzung verursachen. Für N=2 bleibt deshalb ein Mischungswinkel, der Cabibbo-Winkel. Für N=3 ergeben sich drei Quarkmischungswinkel und eine CP-verletzende komplexe Phase.

In der Standard-Parametrisierung lautet die Matrix:

V = [[c₁₂c₁₃, s₁₂c₁₃, s₁₃e^(−iδ)], [−s₁₂c₂₃−c₁₂s₂₃s₁₃e^(iδ), c₁₂c₂₃−s₁₂s₂₃s₁₃e^(iδ), s₂₃c₁₃], [s₁₂s₂₃−c₁₂c₂₃s₁₃e^(iδ), −c₁₂s₂₃−s₁₂c₂₃s₁₃e^(iδ), c₂₃c₁₃]].

Dabei bedeuten s_ij = sin θ_ij und c_ij = cos θ_ij. θ_ij sind die Mischungswinkel zwischen den Quarkgenerationen i und j; θ₁₂ ist der Cabibbo-Winkel. δ ist die CP-verletzende Phase. Weil s₁₃ und s₂₃ sehr klein sind, gilt näherungsweise s₁₂ ≈ |V_us|, s₁₃ ≈ |V_ub| und s₂₃ ≈ |V_cb|. Die experimentellen Werte betragen ungefähr θ₁₂ = 13°, θ₁₃ = 0,2°, θ₂₃ = 2,4° und δ = 1,2 Rad.

Die Matrix kann als Produkt dreier Matrizen geschrieben werden. Diese beschreiben Drehungen mit den Winkeln θ₂₃, θ₁₃ und θ₁₂ zwischen jeweils zwei Quarkgenerationen und haben die Form von Euler-Winkeln.

Wolfenstein-Näherung

Die Wolfenstein-Parametrisierung ist eine Näherungsdarstellung der CKM-Matrix in Potenzen des Sinus des Cabibbo-Winkels λ = s₁₂:

V = [[1−½λ², λ, Aλ³(ρ−iη)], [−λ, 1−½λ², Aλ²], [Aλ³(1−ρ−iη), −Aλ², 1]] + O(λ⁴).

Die drei Parameter A, η und ρ hängen mit der Standard-Parametrisierung zusammen:

A = s₂₃/s₁₂², η = [s₁₃/(s₁₂s₂₃)] sin δ, ρ = [s₁₃/(s₁₂s₂₃)] cos δ.

Die Ordnung O(λ⁴) kennzeichnet die nicht dargestellten Terme vierter und höherer Ordnung in λ.

Unitaritätsdreiecke und Vorhersagen

Aus der Unitarität, V V† = 1^(3×3), folgen unter anderem die Beziehungen

V_ud V_us̄ + V_cd V_cs̄ + V_td V_ts̄ = 0, V_ud V_ub̄ + V_cd V_cb̄ + V_td V_tb̄ = 0, V_us V_ub̄ + V_cs V_cb̄ + V_ts V_tb̄ = 0.

Die Produkte der Matrixelemente sind komplex und können als Vektoren in der komplexen Zahlenebene dargestellt werden. Weil ihre Summe jeweils null ist, lassen sie sich zu Dreiecken zusammensetzen, den sogenannten Unitaritätsdreiecken. Ihre Winkel und Seiten enthalten Informationen über die CKM-Matrix und insbesondere über die CP-Verletzung. Viele Forschungsgruppen bestimmen diese Winkel aus Zerfällen von B- und K-Mesonen.

Die bevorzugten Übergänge innerhalb einer Generation und die Unterdrückung von Übergängen zwischen Generationen erklären die relativ langen Lebensdauern einiger Mesonen, die Quarks höherer Generationen enthalten. Die Unitarität der CKM-Matrix bleibt Gegenstand aktueller Forschung. Untersucht werden unter anderem Messungen des Matrixelements V_tb bei der elektroschwachen Produktion einzelner Top-Quarks sowie mögliche Unstimmigkeiten in den Unitaritätsdreiecken. Eine Verletzung der Unitarität wäre ein Hinweis auf Physik jenseits des Standardmodells.