Bernoulli-Dreieck

Definition und Aufbau

Das Bernoulli-Dreieck ist eine grafische Darstellung der Partialsummen von Binomialkoeffizienten. Für jede nicht negative ganze Zahl n und jede ganze Zahl k mit 0 ≤ k ≤ n ist das Element in der n-ten Zeile und k-ten Spalte definiert als

∑ₚ₌₀ᵏ (n über p).

Dabei werden die Binomialkoeffizienten der n-ten Ordnung von p = 0 bis p = k addiert. Die ersten Zeilen beginnen so:

n = 0: 1 n = 1: 1, 2 n = 2: 1, 3, 4 n = 3: 1, 4, 7, 8 n = 4: 1, 5, 11, 15, 16 n = 5: 1, 6, 16, 26, 31, 32 n = 6: 1, 7, 22, 42, 57, 63, 64 n = 7: 1, 8, 29, 64, 99, 120, 127, 128 n = 8: 1, 9, 37, 93, 163, 219, 247, 255, 256 n = 9: 1, 10, 46, 130, 256, 382, 466, 502, 511, 512.

Ähnlich wie im Pascalschen Dreieck entsteht ein inneres Element aus der Summe zweier Elemente der vorherigen Zeile. Für Bₙ,ₖ als Element in Zeile n und Spalte k gilt:

Bₙ,₀ = 1 für k = 0, Bₙ,ₖ = Bₙ₋₁,ₖ + Bₙ₋₁,ₖ₋₁ für 0 < k < n, Bₙ,ₙ = 2 · Bₙ₋₁,ₙ₋₁ = 2ⁿ für k = n.

Die letzte Zahl jeder Zeile ist somit das Doppelte der letzten Zahl der vorherigen Zeile und lautet 2ⁿ.

Zahlenfolgen in den Spalten

Jede Spalte des Bernoulli-Dreiecks bildet eine besondere Zahlenfolge. Wenn eine Spalte in einer oberen Zeile noch nicht vorhanden ist, werden dafür die ganz rechten Werte der oberen Zeilen verwendet.

Die erste Spalte (k = 0) enthält nur Einsen: Bₙ,₀ = 1. Die zweite Spalte (k = 1) enthält die natürlichen Zahlen: Bₙ,₁ = n + 1, also 1, 2, 3, 4, 5, …

Die dritte Spalte (k = 2) besteht aus den Dreieckszahlen plus Eins. Es gilt:

Bₙ,₂ = (n² + n)/2 + 1 = (n² + n + 2)/2.

Die Folge beginnt mit 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, 46, 56, 67, 79, 92, 106, 121, 137, 154, 172, 191, 211, … Sie wird auch als Folge der zentralpolygonalen Zahlen beziehungsweise als Zahlenfolge des faulen Kellners bezeichnet.

Die vierte Spalte (k = 3) liefert die Kuchenzahlen. Ihre Formel lautet:

Bₙ,₃ = 1/6 · (n + 1) · (n · (n − 1) + 6).

Sie beginnt mit 1, 2, 4, 8, 15, 26, 42, 64, 93, 130, 176, 232, 299, 378, 470, 576, 697, 834, 988, …

Die fünfte Spalte (k = 4) gibt die maximale Anzahl von Regionen an, die entstehen können, wenn n + 1 Punkte auf einem Kreis durch gerade Linien miteinander verbunden werden. Dafür gilt:

Bₙ,₄ = 1 + (n + 1 über 2) + (n + 1 über 4).

Dieselbe Spalte beschreibt außerdem die maximale Anzahl von Regionen, in die n − 1 dreidimensionale Hyperebenen den vierdimensionalen Raum teilen können; diese Folge beginnt mit n = 1.

Regionen und Kompositionen

Allgemein gibt die (k + 1)-te Spalte die maximale Anzahl von Regionen im k-dimensionalen Raum an, die durch n − 1 (k − 1)-dimensionale Hyperebenen gebildet werden können; die Betrachtung beginnt mit n = 1. Für die sechste Spalte gilt beispielsweise k + 1 = 6 und damit k = 5. Ihre Werte beginnen mit 1, 2, 4, 8, 16, 32, 63, 120, 219, 382, 638, 1024, …

An der achten Stelle dieser sechsten Spalte, also bei n = 8, steht 120. Daher können im fünfdimensionalen Raum n − 1 = 7 vierdimensionale Hyperebenen so angeordnet werden, dass der Raum in 120 Teilräume beziehungsweise Regionen zerfällt.

Die (k + 1)-te Spalte zählt außerdem die Kompositionen von n in k + 1 oder weniger Teile. Eine Komposition ist dabei eine Zerlegung von n in eine Summe natürlicher Zahlen, bei der die Reihenfolge der Summanden eine Rolle spielt.

In der zweiten Spalte (k + 1 = 2) steht bei n = 5 die Zahl 5. Die fünf Kompositionen lauten:

5 = 5, 5 = 1 + 4, 5 = 4 + 1, 5 = 2 + 3, 5 = 3 + 2.

In der dritten Spalte (k + 1 = 3) steht bei n = 5 die Zahl 11. Zusätzlich zu den fünf genannten Kompositionen mit höchstens zwei Teilen kommen hinzu:

1 + 1 + 3, 1 + 3 + 1, 3 + 1 + 1, 1 + 2 + 2, 2 + 1 + 2, 2 + 2 + 1.

Damit gibt es insgesamt 11 Möglichkeiten. In der neunten Spalte steht bei n = 10 die Zahl 511. Von den möglichen Zerlegungen wird nur 1 + 1 + 1 + … + 1 = 10 nicht gezählt, weil diese Zerlegung 10 Summanden enthält, während höchstens 9 Teile erlaubt sind.

Fibonacci-Folge aus diagonalen Summen

Wie im Pascalschen Dreieck entstehen auch im Bernoulli-Dreieck durch Summen von Elementen entlang diagonaler Pfade die Fibonacci-Zahlen. Die Folge lautet:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, …

Die Fibonacci-Folge wird ab ihrem dritten Wert durch Differenzen aus den Randwerten und geeigneten diagonalen Elementen des Bernoulli-Dreiecks gewonnen. Die im Artikel angegebenen Rechnungen sind:

1 = 1 2 = 2 3 = 4 − 1 5 = 8 − 3 8 = 16 − 7 − 1 13 = 32 − 15 − 4 21 = 64 − 31 − 11 − 1 34 = 128 − 63 − 26 − 5 55 = 256 − 127 − 57 − 16 − 1 89 = 512 − 255 − 120 − 42 − 6.

Damit zeigt das Bernoulli-Dreieck neben seinen Spaltenfolgen auch eine Beziehung zur Fibonacci-Folge, die durch die Anordnung und Kombination seiner Einträge sichtbar wird.