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Kuchenzahl
Bearbeiten. In der Mathematik nennt man eine Zahl C n {\displaystyle C_{n}} ... der Binomialkoeffizient. Beispiele. Bearbeiten. Die kleinsten Kuchenzahlen C n …
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Grundidee
Eine Kuchenzahl C_n gibt in der Mathematik die maximale Anzahl von Regionen an, in die ein dreidimensionaler Würfel durch genau n Ebenen geteilt werden kann. Anschaulich kann man sich den Würfel als würfelförmigen Kuchen vorstellen, der mit ebenen Messerschnitten zerschnitten wird. Die Kuchenzahlen sind das dreidimensionale Analogon der Zahlenreihe des faulen Kellners, die auch zentralpolygonale Zahlen heißt und das entsprechende Problem in zwei Dimensionen beschreibt.
Ein Beispiel aus der Anschauung: Mit nur 4 Schnitten kann man einen Kuchen in 15 Stücke teilen. Das entspricht C_4 = 15. Dabei haben vierzehn Stücke eine äußere Oberfläche; in der Mitte wird ein Tetraeder herausgeschnitten.
Berechnung
Für n Ebenen lautet die n-te Kuchenzahl:
C_n = \binom{n}{3} + \binom{n}{2} + \binom{n}{1} + \binom{n}{0}
Dies ist gleichbedeutend mit:
C_n = \frac{1}{6} \cdot (n^3 + 5n + 6)
oder:
C_n = \frac{1}{6} \cdot (n+1) \cdot (n \cdot (n-1) + 6)
Dabei bedeutet n! die Fakultät, also das Produkt der natürlichen Zahlen von 1 bis n. Der Binomialkoeffizient ist definiert durch:
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}
Die Formel zeigt, dass zur Berechnung einer Kuchenzahl die ersten vier Binomialkoeffizienten einer Reihe des Pascalschen Dreiecks addiert werden.
Zahlenfolge
Die kleinsten Kuchenzahlen C_n für n = 0, 1, 2, ... lauten:
1, 2, 4, 8, 15, 26, 42, 64, 93, 130, 176, 232, 299, 378, 470, 576, 697, 834, 988, ...
Die Folge ist in der OEIS als A000125 verzeichnet. Die ersten Werte bedeuten zum Beispiel: Ohne Schnitt gibt es 1 Stück, mit 1 Schnitt höchstens 2 Stücke, mit 2 Schnitten höchstens 4 Stücke, mit 3 Schnitten höchstens 8 Stücke und mit 4 Schnitten höchstens 15 Stücke.
Wichtige Eigenschaften
Die einzige prime Kuchenzahl ist C_1 = 2. Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als 1, die nur durch 1 und sich selbst teilbar ist. Der Artikel begründet dies mit der Formel C_n = \frac{1}{6} \cdot (n+1) \cdot (n \cdot (n-1) + 6). Weil n \cdot (n-1) immer gerade ist und nach Addition von 6 gerade bleibt, werden mögliche Fälle für n \cdot (n-1) + 6 untersucht. Nur bei n = 1 entsteht C_1 = 2; die anderen Fälle liefern keine Primzahl oder keine reelle Lösung.
Außerdem sind Kuchenzahlen eng mit zentralpolygonalen Zahlen verbunden: Die Differenz C_n - C_{n-1} zweier aufeinanderfolgender Kuchenzahlen ergibt jeweils eine zentralpolygonale Zahl. Der Artikel zeigt dies durch vollständige Induktion. Für den allgemeinen Schritt gilt:
C_{n+1} - C_n = \frac{n^2 + n + 2}{2}
Das ist die n-te zentralpolygonale Zahl.
Bezug zu Zahlendreiecken
Die Kuchenzahlen treten auch in bekannten Zahlendreiecken auf. Die vierte Spalte des Bernoulli-Dreiecks, also die Spalte für k = 3, gibt die Kuchenzahlen für n Schnitte an.
Im Pascalschen Dreieck erhält man die Kuchenzahlen, indem man in jeder Reihe die ersten vier Terme summiert. Zum Beispiel ergeben die Werte 1, 4, 6 und 4 in der entsprechenden Reihe zusammen 15; das ist die Kuchenzahl C_4. Weitere Summen sind 1, 2, 4, 8, 15, 26, 42, 64, 93 und 130.