Babinetsches Prinzip

Grundidee des Babinet’schen Prinzips

Das Babinet’sche Prinzip, auch Babinet’sches Theorem, ist ein Satz der Optik. Es besagt: Zwei komplementäre Blenden erzeugen außerhalb des Bereichs der geometrisch-optischen Abbildung gleiche Beugungsbilder. Komplementär bedeutet, dass bei der einen Blende genau dort eine Öffnung liegt, wo die andere undurchsichtig ist, und umgekehrt.

Die geometrisch-optische Abbildung ist das Bild, das ohne Beugung bei geradliniger Ausbreitung von Lichtstrahlen entstehen würde. Außerhalb dieses Bereichs unterscheiden sich beispielsweise das Beugungsbild eines Einzelspalts und das eines Drahtes gleicher Dicke kaum. Ebenso entspricht das Beugungsbild einer Kreisscheibe dem eines kreisförmigen Lochs gleicher Größe.

Das Prinzip gilt sowohl für Fresnel- als auch für Fraunhoferbeugung.

Beugung und komplementäre Blenden

In der geometrischen Optik breitet sich Licht geradlinig aus. Trifft Licht jedoch auf eine Blende, werden die Lichtwellen an ihren Rändern gebeugt. Die gebeugten Wellen überlagern sich; diese Überlagerung heißt Interferenz. Dadurch entsteht auf einem Schirm eine Verteilung von hellen und dunklen Bereichen, die von der rein geometrisch erwarteten Abbildung abweicht.

Ein Spalt und ein gleich breiter Draht sind komplementäre Blenden. Ein weiteres Beispiel sind eine Kreisblende und ein undurchsichtiges Kreisplättchen gleichen Durchmessers. Das Prinzip erlaubt, die Beugung an einem undurchsichtigen Hindernis auf die Beugung an einer Öffnung mit demselben Umriss zurückzuführen. Bei der Korona wird die Beugung an Wassertropfen in Wolken daher auf die Beugung an einer Kreisblende zurückgeführt.

Herleitung über Amplituden

Die Helligkeitsverteilung auf dem Schirm wird durch die Amplitudenverteilung der Lichtwelle beschrieben. Ohne Blende sei sie E₀(x), wobei x die Koordinate längs des Schirms ist. Im geometrisch hellen Bereich ist die Amplitude groß, außerhalb ist sie null.

Für eine Lochblende und ihr komplementäres Hindernis wird die jeweilige Gesamtamplitude in einen geometrischen und einen Beugungsanteil zerlegt:

E_loch(x) = E_lochgeo(x) + E_lochbeug(x)

E_hind(x) = E_hindgeo(x) + E_hindbeug(x)

Da beide komplementären Blenden zusammen den Strahl vollständig verdecken, muss die Summe ihrer Gesamtamplituden der Amplitude ohne Blende entsprechen:

E_loch(x) + E_hind(x) = E₀(x).

Auch die Summe ihrer geometrischen Anteile ist E₀(x):

E_lochgeo(x) + E_hindgeo(x) = E₀(x).

Daraus folgt für die Beugungsanteile:

E_lochbeug = −E_hindbeug.

Die Beugungsamplituden sind also betragsgleich, aber haben entgegengesetzte Vorzeichen. Werden sie überlagert, löschen sie sich außerhalb der geometrisch-optischen Abbildung aus. Entscheidend für das sichtbare Beugungsbild ist jedoch die Intensität, und diese ist proportional zum Quadrat der Amplitude. Das Vorzeichen spielt deshalb für die Intensität keine Rolle: Beide komplementären Blenden erzeugen dort dieselben Intensitäten und damit gleiche Beugungsbilder.

Fraunhofer-Beugung

Bei der Fraunhofer-Beugung befindet sich die Lichtquelle in unendlich großer Entfernung. Praktisch muss sie dafür hinreichend klein sein und der Abstand zum Beobachtungsschirm hinreichend groß; alternativ können Linsen Lichtquelle und Schirm in unendliche Entfernung „rücken“.

Bei einer annähernd punktförmigen Lichtquelle wird auch der Bereich der geometrisch-optischen Abbildung sehr klein und ist im Beugungsbild kaum wichtig. Deshalb sehen die Beugungsbilder komplementärer Blenden bei Fraunhofer-Beugung insgesamt fast gleich aus. Als Beispiel werden eine Stecknadel und ein Spalt zwischen zwei Rasierklingen genannt, dessen Breite mit der Stecknadel erzeugt wurde. Bei nicht genau übereinstimmender Breite weichen die Positionen der Maxima voneinander ab.

Anwendung in der Elektrodynamik

Das Babinet’sche Prinzip kann auch in der Elektrodynamik verwendet werden, etwa für elektromagnetische Effekte an Aperturen, also Öffnungen, in leitenden Ebenen. Zur Berechnung der durch eine Apertur übertragenen Felder genügt die Kenntnis der elektrischen Felder, die tangential zur Oberfläche liegen.

So lässt sich das elektromagnetische Feld eines Lochs in einer unendlich ausgedehnten leitenden Oberfläche bestimmen, obwohl sich deren Stromverteilung nicht direkt berechnen lässt. Nach dem Prinzip wird das Loch zur leitenden Oberfläche ergänzt. Die Oberflächenströme müssen dann nur über dem Loch berechnet werden; eine Rücktransformation liefert anschließend das Ergebnis für das Loch in der unendlich großen leitenden Fläche.

Vektorielle elektrische und magnetische Felder

Die einfache Herleitung behandelt Beträge elektrischer Felder beziehungsweise Intensitätsverteilungen und verwendet Näherungen des Kirchhoffschen Beugungsintegrals für skalare Feldgrößen. Für Aussagen über komplexwertige elektrische und magnetische Felder sowie über Polarisation betrachtet man meist unendlich dünne, perfekt elektrisch leitende Blenden.

Bei Feldanteilen, die senkrecht auf die Blende einfallen, müssen die Feldvektoren beim Übergang zu der komplementären Blende um 90° um die Flächennormale gedreht werden. Dabei werden elektrische Dipolmomente der einen Blende zu magnetischen Dipolmomenten der komplementären Blende und umgekehrt.