Anzahldichte

Bedeutung der Anzahldichte

Die Anzahldichte beschreibt, wie viele zählbare Dinge eines bestimmten Typs in einem Volumen vorkommen. Solche Dinge können Objekte, Lebewesen oder abstrakte Entitäten wie Ereignisse sein. Wie alle Dichten ist sie eine intensive Größe: Ihr Wert hängt nicht einfach davon ab, wie groß der insgesamt betrachtete Bereich ist.

Meist interessiert die Anzahldichte von Objekten im Raum. Nach demselben Grundprinzip lässt sie sich aber auch für Flächen oder eindimensionale Gebilde wie Strecken, Polygonzüge sowie ebene oder räumliche Kurven bilden. Je nach Bezugsgröße spricht man von räumlicher, flächenbezogener oder längenbezogener Anzahldichte.

Anwendungsbereiche und Beispiele

In Physik, Astronomie, Chemie, Biologie und Ökologie werden häufig Teilchen oder andere Einheiten gezählt, etwa Atome, Moleküle, Elektronen, Nukleonen, Photonen, Sterne oder Galaxien. Die Anzahldichte ist dann die Zahl dieser Teilchen in einem betrachteten Bereich, geteilt durch dessen Volumen, Flächeninhalt oder Länge.

Der betrachtete Raumbereich kann durch die Objekte selbst begrenzt sein, beispielsweise durch die Grenzen eines Festkörpers. Er kann aber auch ein frei gewählter Teil des physikalischen Raums sein und braucht keine materielle, geschlossene Oberfläche zu besitzen.

In Bevölkerungsgeographie, Demografie und Sozialwissenschaften zählt man Individuen oder Subjekte. Die Bevölkerungsdichte ist die flächenbezogene Anzahldichte der Einwohner eines Staats, einer Stadt oder eines anderen Gebiets.

Definition, Mittelwert und Gesamtzahl

Die räumliche Anzahldichte n an der Position x⃗ ist definiert als Anzahl dN der Objekte in einem Volumenelement dV, geteilt durch dessen Volumen:

n(x⃗) = dN/dV.

Diese Definition über ein unendlich kleines Volumen ist im Allgemeinen unpraktisch. Würden punktförmig angenommene Atome in einem Kristall so beschrieben, erschiene die Anzahldichte als Dirac-Kamm. Für makroskopische Untersuchungen verwendet man deshalb einen mesoskopischen Raumbereich V. Dieser muss so gewählt werden, dass die Mittelung innerhalb dieses Bereichs die makroskopische Physik nicht beeinflusst.

Der arithmetische Mittelwert der räumlich veränderlichen Anzahldichte lautet n̄ = (∭V n(x⃗) dV)/(∭V dV) = N/V. Dabei ist N die Gesamtzahl der Objekte im Volumen V. Umgekehrt erhält man die Gesamtzahl durch N = ∭V n(x⃗) dV; dV bezeichnet dabei das Volumenelement.

Haben alle Objekte dieselbe Masse m₀, gilt für ihre Gesamtmasse M: M = m₀N = m₀ ∭V n(x⃗) dV. Entsprechende Formeln gelten für andere extensive Größen. Bei elektrischer Ladung werden beispielsweise M durch die Gesamtladung Q und m₀ durch die Ladung q₀ eines einzelnen Objekts ersetzt.

Einheit und Bezeichnungen

Die SI-Einheit der räumlichen Anzahldichte ist m⁻³; häufig wird auch cm⁻³ verwendet. Die Größe Anzahl hat im SI-Einheitensystem die Dimension Zahl, aber keine eigene Maßeinheit. Zusätze wie „Stück“, „Einheit[en]“, „Paar“, „Satz“ oder die konkrete Bezeichnung der gezählten Dinge, zum Beispiel „12 Bäume“ oder „24 Teilchen“, sind jedoch zulässig.

Für dieselbe Größe kommen verschiedene Namen vor: „Anzahldichte der Objekte“, „Objektanzahldichte“ und „Objektdichte“. Bei Teilchen sind dies etwa „Anzahldichte der Teilchen“, „Teilchenanzahldichte“ und „Teilchendichte“; bei Atomen entsprechend „Anzahldichte der Atome“, „Atomanzahldichte“ und „Atomdichte“. Die Formen „Objektdichte“, „Teilchendichte“ und „Atomdichte“ können doppeldeutig sein, weil sie auch die Massendichte eines einzelnen Objekts, Teilchens oder Atoms meinen könnten.

Atomanzahldichte und ideales Gas

Bei 20 °C und 100 kPa liegen die Atomanzahldichten der unter diesen Bedingungen gasförmigen Elemente H, He, N, O, F, Ne, Cl, Ar, Kr, Xe und Rn in der Größenordnung von 10¹⁹ Atomen pro cm³. Auf der Skala der genannten Darstellung liegen sie nahe bei Null.

Kohlenstoff kommt in reiner Form als Diamant und als Graphit vor. Diese Kohlenstoffmodifikationen haben deutlich verschiedene Massendichten und deshalb auch verschiedene Atomanzahldichten. Diamant besitzt die mit Abstand größte Atomanzahldichte aller Elemente.

Bei einem Gas hängt die Atomanzahldichte neben der Temperatur vom Druck ab. Für ein ideales Gas bei 20 °C, also T = 293,15 K, und p = 1,01325 · 10⁵ Pa gilt:

n = p/(k_B · T).

Die Boltzmann-Konstante beträgt k_B = 1,38065 · 10⁻²³ J/K. Einsetzen ergibt n = 2,5035 · 10¹⁹ Atome/cm³. Die Atomanzahldichten der sechs natürlich vorkommenden Edelgase weichen davon nur geringfügig ab. Die größte angegebene Abweichung hat Helium mit n = 2,5577 · 10¹⁹ Atomen/cm³.

Bestimmung der Anzahldichte

Am Anfang jeder Bestimmung steht das Zählen. Sollen Anzahldichten mehrerer Objekt- oder Subjekttypen bestimmt werden, lässt sich dies in den meisten Fällen auf jeweils einen Typ beschränken.

In der Ökologie heißt die Anzahldichte einer Population Populationsdichte oder Bestandsdichte. Sie bezieht sich auf einen Raum- oder Flächenbereich. Gezählt werden können beispielsweise Fische oder Planktonorganismen in einem See, Bakterien in einem Tank oder Bodenorganismen. Flächenbezogene Populationsdichten werden etwa in Individuen pro Quadratmeter oder pro Hektar angegeben. Bei Vögeln wird sie besonders im Umfeld von Flughäfen bestimmt. Die Anzahldichte einer Art speziell in ihrem Siedlungsgebiet heißt Abundanz.

Falls jedes Objekt die Masse m₀ besitzt und alle Objekte zusammen die Masse M haben, kann ihre Zahl über einen Massenvergleich bestimmt werden: N = M/m₀. Ist außerdem das Volumen V bekannt, folgt n = M/(V · m₀). Eine verbreitete Anwendung ist die Berechnung der Atomanzahldichte aus der Massendichte eines Bereichs und der Masse eines einzelnen Atoms.