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Abklingkonstante
Bei positivem Vorzeichen der Abklingkonstanten klingt die Schwingung ab, bei negativem Vorzeichen nimmt die Amplitude der Schwingung ... gedämpfte Schwingung …
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Bedeutung und Definition
Die Abklingkonstante b4, auch Dämpfungskonstante oder Abklingkoeffizient, beschreibt bei linearen Schwingungssystemen mit einem Freiheitsgrad, wie sich die Amplitude einer Schwingung mit der Zeit verändert. Sie ist das Produkt aus der ungedämpften Eigenkreisfrequenz c9 0 und der Lehrschen Dämpfung D:
b4 = c9 0 · D mit |D| < 1.
Bei positivem b4 klingt die Schwingung ab. Bei negativem b4 wächst ihre Amplitude exponentiell an.
Zeitverlauf einer gedämpften Schwingung
Der zeitliche Verlauf kann beschrieben werden durch:
x(t) = x 0 e^−b4t sin(c9 d t + c6 0)
Dabei ist x 0 die Ausgangsamplitude, t die Zeit und c6 0 die Anfangsphase. Die gedämpfte Kreisfrequenz lautet:
c9 d = c9 0 √(1 − D²).
Der Faktor e^−b4t bewirkt bei b4 > 0 das Abnehmen der Amplitude. Nach ungefähr t ü = 3/b4 ist die Amplitude auf unter 5 % der Ausgangsamplitude abgeklungen.
Bestimmung aus Messungen und PT1-Verhalten
Aus gemessenen Sprungantworten kann die Abklingkonstante näherungsweise mit dem logarithmischen Dekrement 9b und der Periodendauer T d bestimmt werden:
b4 = 9b / T d.
Das logarithmische Dekrement wird aus zwei Amplituden berechnet, die um eine Schwingungsdauer auseinanderliegen:
9b = ln(A(t) / A(t + T d)).
Bei linearen Systemen genügen zwei Amplituden. Bei schwach nichtlinearen Systemen soll über mehrere logarithmische Dekremente gemittelt werden. Bei stark nichtlinearen Systemen ist es besser, die Zeit zu bestimmen, bis die Amplitude in einen Bereich von ± 5 Prozent des Stationärwerts eingetreten ist.
Systeme mit PT1-Verhalten, zum Beispiel eine Hintereinanderschaltung einer Feder und eines Dämpfers, erfüllen die Differentialgleichung T 1 · ẏ(t) + y(t) = x(t). Ihre Zeitkonstante T 1 ist der Kehrwert der Abklingkonstanten.