Σ-Stetigkeit

Grundidee und Bedeutung

Die σ-Stetigkeit ist eine Eigenschaft von Mengenfunktionen. Das sind Funktionen, deren Argumente Mengen statt einzelner Punkte sind. Sie ist besonders wichtig in Stochastik und Maßtheorie: Wahrscheinlichkeitsmaße und Maße besitzen sie als elementare Eigenschaft.

Man unterscheidet σ-Stetigkeit von unten, σ-Stetigkeit von oben und ∅-Stetigkeit. Die Eigenschaft beschreibt, dass sich die Werte einer Mengenfunktion passend verhalten, wenn sich Mengen durch auf- oder absteigende Folgen einer Zielmenge annähern.

σ-Stetigkeit von unten und oben

Sei ℳ ein Mengenring und μ: ℳ → [0,∞] ein Inhalt.

μ heißt σ-stetig von unten in A, wenn für jede monoton wachsende Mengenfolge Aₙ ↑ A aus ℳ gilt:

limₙ→∞ μ(Aₙ) = μ(A).

μ heißt σ-stetig von oben in A, wenn für jede monoton fallende Mengenfolge Aₙ ↓ A aus ℳ mit μ(Aₙ) < ∞ für alle n ∈ ℕ gilt:

limₙ→∞ μ(Aₙ) = μ(A).

σ-stetig von unten beziehungsweise oben heißt μ, wenn die jeweilige Bedingung für alle A ∈ ℳ erfüllt ist. ∅-stetig bedeutet, dass μ σ-stetig von oben in der leeren Menge ∅ ist. Dieselben Definitionen gelten auch für den spezielleren Fall eines Maßes auf einer σ-Algebra.

Warum bei fallenden Folgen Endlichkeit nötig ist

Bei endlichen Mengenfunktionen, etwa Wahrscheinlichkeitsmaßen und endlichen Maßen, kann bei der σ-Stetigkeit von oben auf die Voraussetzung μ(Aₙ) < ∞ verzichtet werden, weil immer μ(X) < ∞ gilt.

Im allgemeinen Fall ist diese Voraussetzung notwendig. Beim Zählmaß μ: ℘(ℕ) → [0,∞], definiert durch μ(A) := #A, ist #A die Anzahl der Elemente von A. Für die fallende Mengenfolge Aₙ := {n, n+1, n+2, …} gilt Aₙ ↓ ∅. Dennoch ist

0 = μ(∅) ≠ limₙ→∞ μ(Aₙ) = ∞.

Die Funktionswerte nähern sich hier also trotz Annäherung der Mengen nicht dem Wert der Zielmenge an.

Verwendung in Beweisen und bei Maßen

Die Stetigkeit einer Mengenfunktion ist ein wichtiges Hilfsmittel in Beweisen: Aus der Annäherung von Mengen kann auf die Annäherung ihrer Funktionswerte geschlossen werden.

Außerdem liefert sie äquivalente Charakterisierungen der σ-Additivität von Inhalten. Dadurch lassen sich Kriterien formulieren, wann Inhalte Prämaße sind und somit zu Maßen fortgesetzt werden können.