Trachtenberg-System

Grundidee und Aufbau

Das Trachtenberg-System, auch Trachtenberg-Schnellrechenmethode genannt, ist ein System zum schnellen Kopfrechnen. Es besteht aus mehreren leicht erkennbaren Operationen, mit denen arithmetische Rechnungen zügig ausgeführt werden können. Entwickelt wurde es vom russisch-jüdischen Ingenieur Jakow Trachtenberg während seiner Gefangenschaft in einem Konzentrationslager der Nationalsozialisten.

Zu den wichtigsten Verfahren gehören das allgemeine Multiplizieren, das allgemeine Dividieren und das allgemeine Addieren. Daneben gibt es spezielle Regeln für die Multiplikation mit kleinen Zahlen zwischen fünf und dreizehn. Die Additionsmethode enthält außerdem ein Verfahren zur Kontrolle von Berechnungen, das auch auf die Multiplikation angewandt werden kann.

Allgemeines Multiplizieren

Das allgemeine Verfahren dient dazu, Multiplikationen a × b mit möglichst wenigen zu merkenden Zwischenergebnissen auszuführen. Die Endziffer des Produkts wird nur durch die letzten Ziffern der beiden Faktoren bestimmt. Für die vorletzte Ergebnisziffer werden zusätzlich die letzte Ziffer von a mal der vorletzten Ziffer von b sowie die vorletzte Ziffer von a mal der letzten Ziffer von b berücksichtigt.

Allgemein werden für jede Position n im Ergebnis alle Produkte der Form „Ziffer von a bei i × Ziffer von b bei (n − i)“ addiert. Man beginnt rechts mit der am wenigsten signifikanten Ziffer und arbeitet nach links. Dadurch können auch vierstellige Zahlen im Kopf multipliziert werden, während nur das Endergebnis niedergeschrieben wird.

Trachtenberg beschrieb das Verfahren als paarweise Multiplikation. Dabei werden jeweils zwei Ziffern miteinander multipliziert und nur die mittlere Ziffer des jeweiligen Ergebnisses berücksichtigt. Mit dieser Vorgehensweise müssen immer weniger Zwischenergebnisse gespeichert werden.

Beispiel 123456 × 789: Die erste Ergebnisziffer ist die Einerziffer von 9 × 6 = 4. Für die zweite Ziffer werden die Einer von 9 × 5, die Zehner von 9 × 6 und die Einer von 8 × 6 addiert: 5 + 5 + 8 = 18. Man schreibt 8 und merkt 1. Für die dritte Ziffer ergibt sich 1 + 6 + 4 + 0 + 4 + 2 = 17; man schreibt 7 und merkt 1. Für die vierte Ziffer ergibt sich 1 + 7 + 3 + 2 + 4 + 5 + 4 = 26; man schreibt 6 und merkt 2. Danach wird mit den übrigen Ziffern genauso fortgefahren.

Bei der Zwei-Finger-Methode zeigt ein Pfeil von der Ziffer des Multiplikators auf die Ziffer des Multiplikanden direkt über der gerade berechneten Ergebnisstelle. Weitere Pfeile zeigen jeweils eine Stelle nach rechts. Der vertikale Pfeil bezeichnet die Einer, der schräge Pfeil die Zehner. Zeigt ein Pfeil auf ein leeres Feld, entfällt die Berechnung. Anschließend wird die Pfeilgruppe schrittweise nach links verschoben, bis alle Pfeile auf vorangestellte Nullen zeigen.

Division und Addition

Die allgemeine Division funktioniert ähnlich wie das Trachtenberg-Verfahren für die Multiplikation. Der wesentliche Unterschied besteht darin, dass anstelle der Addition die Subtraktion verwendet wird.

Die allgemeine Addition ist für mehrere große Zahlen gedacht. Die Zahlen werden zunächst untereinander angeordnet. Anschließend werden die Spalten nach der 11er-Regel bearbeitet. In der untersten Zeile entsteht ein Zwischenergebnis, das durch eine weitere, mithilfe der 11er-Regel erhaltene Zahl ergänzt wird. Diese beiden Werte werden mit einem L-Figur-Algorithmus für die einzelnen Spalten addiert.

Beispiel 456 + 789: Rechts beginnt man mit 6 + 9 = 15, schreibt 5 und übernimmt 1. Danach folgt 5 + 8 + 1 = 14, also schreibt man 4 und übernimmt 1. Links ergibt sich 4 + 7 + 1 = 12; man schreibt 2 und übernimmt 1. Da keine weitere Spalte vorhanden ist, wird die übernommene 1 vorne notiert. Das Ergebnis lautet 1245.

Gemeinsame Regeln der Multiplikationsalgorithmen

Bei den speziellen Multiplikationsalgorithmen wird das Ergebnis Ziffer für Ziffer von rechts nach links ermittelt. Die letzte Berechnung erfolgt an der führenden Null des Multiplikanden. Jede Ziffer besitzt als Nachbarn die Ziffer rechts von ihr; die rechte Ziffer hat als Nachbarn die nachfolgende Null.

„Halbieren“ bedeutet im Trachtenberg-System, eine Ziffer abzurunden. Aus Geschwindigkeitsgründen soll die Halbierung sofort gedacht werden, beispielsweise „Sieben, drei“ statt „Die Hälfte von sieben ist dreieinhalb, also drei“. Auch die Tabellen zum Subtrahieren von Ziffern von 10 oder 9 sollen auswendig gelernt werden.

Wenn eine Regel die Hälfte des rechten Nachbarn verlangt, werden zusätzlich immer 5 addiert, wenn die aktuelle Ziffer ungerade ist. Dadurch wird das Weglassen von 0,5 in der Berechnung der folgenden Ziffer ausgeglichen.

Multiplikation mit 2, 3 und 4

Bei der Multiplikation mit 2 wird jede Ziffer verdoppelt; Überträge werden berücksichtigt. Beispiel: 8624 × 2. Von rechts entstehen 4 + 4 = 8, 2 + 2 = 4, 6 + 6 = 12 und 8 + 8 + 1 = 17. Das Ergebnis ist 17248.

Für die Multiplikation mit 3 wird bei der rechten Ziffer von 10 subtrahiert, bei den übrigen Ziffern von 9. Das Ergebnis wird verdoppelt. Danach wird die Hälfte des rechten Nachbarn addiert, zusätzlich 5 bei einer ungeraden aktuellen Ziffer. Für die führende Null wird 2 von der Hälfte des Nachbarn subtrahiert. Beispiel: 492 × 3 = 1476.

Für die Multiplikation mit 4 wird ebenfalls die rechte Ziffer von 10 und jede weitere Ziffer von 9 subtrahiert. Danach wird die Hälfte des rechten Nachbarn addiert, bei einer ungeraden aktuellen Ziffer zusätzlich 5. Für die führende Null wird 1 von der Hälfte des Nachbarn subtrahiert. Beispiel: 346 × 4 = 1384.

Multiplikation mit 5, 6, 7 und 8

Bei der Multiplikation mit 5 wird der rechte Nachbar halbiert und addiert. Ist die aktuelle Ziffer ungerade, wird zusätzlich 5 addiert. Beispiel: 42 × 5 = 210.

Bei der Multiplikation mit 6 wird zu jeder Ziffer die Hälfte des rechten Nachbarn addiert. Bei einer ungeraden aktuellen Ziffer kommen 5 hinzu. Mit Überträgen ergibt das Beispiel 357 × 6 = 2142.

Bei der Multiplikation mit 7 wird jede Ziffer verdoppelt. Dazu kommen die Hälfte des rechten Nachbarn, 5 bei einer ungeraden Basisziffer und der Übertrag. Beispiel: 693 × 7 = 4851.

Bei der Multiplikation mit 8 wird die rechte Ziffer von 10 und jede weitere Ziffer von 9 subtrahiert. Das Ergebnis wird verdoppelt und der rechte Nachbar addiert. Für die führende Null werden 2 vom Nachbarn subtrahiert. Beispiel: 456 × 8 = 3648.