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KS LF VIII.6 ES Erwartungswert und Histogramm
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 59 Zeilen
- hallo und herzlich willkommen beim J mati Kanal wir sind schon im Teil Kapitel 6 dem sogenannten Erwartungswert und Histogramm angelangt und das machen
- wir uns direkt mal an diesem Beispiel klar denn ich habe mal folgendes mitgebracht es werden hier vier ganz normale Spielwürfel geworfen und
- natürlich müssen wir zunächst wieder unsere Zufallsgröße x definieren denn wie so oft Mensch ärgere dich nicht und Co soll die Anzahl der Sechsen für uns
- nur relevant sein des des en schreibt doch gerne mal noch mal in die Kommentare rein warum die Zufallsgröße x damit schon binomial verteilt ist denn
- damit bekommen wir jetzt also alle unsere Parameter denn als n also die Länge der benulikette können wir eben hier vier angeben macht ihr das
- unbedingt noch mal klar und wenn ihr Lust hast schreib es gerne noch mal in die Kommentare ob es eigentlich ein Unterschied macht ob man diese vier
- Würfel alle gleichzeitig sozusagen ein Becher rein tut und dann würfelt oder ob man die auch nacheinander werfen darf denn wenn man einen einzelwürfel anguckt
- dann tritt eben das Ereignis es kommt eine sech mit der Wahrscheinlichkeit ein Sechstel auf und mit Q bezeichnen wir wie üblich das Gegenereignis also das
- keine se auftaucht mit der Wahrscheinlichkeit 5/6 und jetzt kleine Fleißaufgabe für dich noch mal mit dem Taschenrechner ein bisschen üben das
- ganze kann man eben in eine Wahrscheinlichkeitsverteilung jetzt übertragen das bedeutet die Tabelle ist so aufgebaut dass die kleinen XI hier
- eben die Werte annehmen die die Zufallsgröße x annehmen kann den denn von Null Treffer bis eben komplett vier von vier Treffer ist ja alles möglich
- ich löse hier an der Stelle also die Fleiß auffgabe auf denn du sollest mit dem Taschenrechner diese Zahlen jetzt bestätigen können über die Geschichte
- binomial PDF als kleines Stichwort und wer jetzt sagt ja das sieht alles so ein bisschen theoretisch aus das Tauchen viele Zahlen jetzt in so einer
- Wahrscheinlichkeitsverteilung auf dem sei geholfen an dieser Stelle nämlich wer eher so ein bisschen der visuelle Typ ist der bekommt hier folgendes
- gelieb wir können diese Informationen aus dieser Tabelle aus der Wahrscheinlichkeitsverteilung natürlich
- auch in ein Schaubild übertragen und dieses Schaubild ist ein bisschen ähnlich aufgebaut wie so ein Koordinatensystem wir können also die
- Treffer also die Werte die die Zufallsgröße x annehmen kann die können wir hier nach rechts abtragen das sind also die Werte von 0 bis 4 und die
- zugehörigen Wahrscheinlichkeiten machen wir mal vielleicht hier folgendes Beispiel für einen Treffer haben wir die Wahrscheinlichkeit 0,38
- das heißt die können wir jetzt hier nach oben auf der Y-Achse abtragen und 0,386 ja das wäre also genau hier und deswegen kommt hier beispielsweise diese
- Säule für den einen Treffer zustande übrigens die Breite dieses dieser Säule ist genau mit eins gewählt damit ist auch klar dass der Flächeninhalt einer
- solchen Säule eben genau diesem Wert nämlich der Wahrscheinlichkeit entspricht und das ist im Prinzip schon alles was hinter diesem Histogramm
- steckt was jetzt aber noch eine ganz gute Nachricht ist für dieses Kapitel ist dass wir den Erwartungswert ein bisschen abkürzend berechnen können denn
- Erwartungswert das kennst du schon der wird gerne mit e in Klammer x bezeichnet gibt also sozusagen das an was wir durchschnittlich auf lange Sicht pro
- Durchgang erwarten können neu ist nur dieser griechische Buchstabe das ist nämlich ein kleines mü aber ansonsten kleine Erinnerung weißt du nämlich schon
- wie man den berechnet denn wenn man eine Wahrscheinlichkeit Verteilung hat dann nimmt man zunächst mal die Werte die die Zufallsgröße eben annehmen kann
- multipliziert die mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit rechnet also 0 x 0,482 1 x 0,386 2 x
- 0,116 und so weiter und addiert diese Geschichten anschließend und genau das habe ich hier an der Stelle mal gemacht und dann erhält man über diese ja
- zugegeben etwas längere aber am Ende ähm einfache Rechnung einen Wert dafür wir sehen also der Wert beträgt hier ca 2 dr bzw 0,667 als Dezimalzahl
- und da sollte jetzt bei dir etwas klingeln denn gucken wir doch noch mal diese Parameter an und ich habe die eingangs die Frage gestellt ist es
- eigentlich egal ob ich diese vier Würfel jetzt in einen Spielwürfel sozusagen also in einen Becher reinpacke und dann alles auf einmal würfle oder ob ich die
- eigentlich hintereinander würfle und da das ja offensichtlich völlig egal ist ist doch auch klar bei einem einzelnen Durchgang erhalte ich die SE
- mit der Wahrscheinlichkeit ein sestel wenn ich jetzt aber die vierfache Chance habe dann erhalte ich doch die Wahrscheinlichkeit hierfür durch 4 x 1
- Seel und 4 x 1/ das ist doch genau eben dasselbe wie 4/6 bzw wie 23 wir sehen also das ist natürlich genau dasselbe wie wir hier
- jetzt auf auf diese Art und Weise rausbekommen neu ist also die Abkürzung wir brauchen also lediglich die beiden Parameter N und P können diese
- multiplizieren und erhalten dann anstatt einer solchen langwierigen Rechnung eben bei einer binomial verteilten Zufallsgröße sofort unseren
- Erwartungswert mü das ist also die eine Geschichte die wir berechnen können und genauso gibt's auch eine vereinfachte Formel für die Standardabweichung in
- diesem Video geht's nicht darum was die Standardabweichung kann daz verweise ich gerne noch mal auf das frühere Video hier wollen wir uns nur angucken na ja
- wie einfach man das jetzt berechnen kann denn die Formel hierfür gibt eben an dass wir auch nur die Parameter NP und jetzt jetzt brauchen wir aber noch das Q
- mit reinnehmen und deswegen decke ich bzw löse ich hier direkt mal auf wenn mein Zeichenprogramm an der Stelle noch mitmachen möchte jawohl jetzt blendet
- mir nämlich das ganze ein wir brauchen also lediglich die Werte für n für P und für die gegenwahrscheinlichkeit 1- P die man eben gerne auch durch Q ausdrücken
- kann und da erhalten wir ja hier die Werte 4 166el und eben hier für Q 56 und davon muss man lediglich noch die Wurzel ziehen und erhält dann eben hier eine
- Maßzahl für die Streuung einer Verteilung also um den Erwartungswert herum Video gerne noch mal anhalten denn kleine Quizfrage wie kriegt man jetzt
- die Varianz und da ist dir natürlich klar moment mal die Varianz ist ja genau dasselbe wie die Standardabweichung lediglich ins Quadrat genommen und wenn
- ich das hier ins Quadrat nehme ja was passiert denn mit Wurzel und Quadrat ja stimmt das ganze hebt sich ja auf deswegen ist die Varianz natürlich hier
- von der Formel auch geschenkt wir decken also auf müssen hier lediglich n* P* 1- P also n mal P mal Q rechnen und können uns die Wurzel sogar noch schenken das
- sind also die Neuerungen in diesem Kapitel die du gerne natürlich an wenden darfst zum Abschluss von diesem Video gibt's noch mal ein paar Tipps die ja
- ganz gut zu wissen sind und dazu gucken wir uns eben dieses mü dieses neue mü hier gerne noch mal an denn da kann man folgende Aussagen treffen manchmal ist
- dieses mü eine ganze Zahl dann weiß man auch automatisch dass die höchste Säule an dieser Stelle liegen muss aber wie in unserem Beispiel gesehen muss mü nicht
- immer eine ganze Zahl sein sondern kann auch hier mal eben mit zwe Drittel eine Dezimalzahl bei beispielsweise 0,66 oder ähnliches sein dann sehen wir dass die
- höchste Säule sich direkt daneben befinden muss also entweder bei der nächsten natürlichen Zahl 1 oder eben 0 und in diesem Falle
- ist hier bei der 0 natürlich die höchste Säule Achtung wichtige Info hat also nichts mit runden oder so zu tun dass die ein sozusagen näher an der 0,6 dran
- ist sondern wir können lediglich die Aussage treffen dass irgendeine Säule direkt daneben dann die höchste sein muss in
- ist es auch gut zu wissen dass je größer dieses Sigma also die Standardabweichung wird dass dann natürlich auch das Histogramm etwas breiter ist gerne
- wieder an die Müsli Packungen erinnern aus dem vorigen Video und zum letzten kann man auch noch ein sogenanntes Sigma Intervall definieren das heißt also das
- ist genau das Intervall man nimmt sozusagen das mü also der Erwartungswert geht davon eine Standardabweichung nach links und geht anschließend eine
- Standardabweichung nach rechts und genau dieses Intervall das guckt man sich da an und da stellt man so ein paar ja durchaus interessante Zusammenhänge fest
- aber die werden dann Gegenstand eines nächsten Videos und deswegen wenn du Lust hast bleib doch natürlich gerne dran wenn du mehr dazu erfahren willst
- für dieses Video war's das allerdings deswegen bedanke ich mich fürs zusehen und gerne bis zum nächsten
- Mal
Zum Nachlesen
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