KS LF VIII.6 ES Erwartungswert und Histogramm
JOTHA by Jürgen Hinderhofer
https://www.youtube.com/watch?v=tQey2A6VY9Y

Transkript (automatisch erstellt)

0:01 hallo und herzlich willkommen beim J mati Kanal wir sind schon im Teil Kapitel 6 dem sogenannten Erwartungswert und Histogramm angelangt und das machen
0:11 wir uns direkt mal an diesem Beispiel klar denn ich habe mal folgendes mitgebracht es werden hier vier ganz normale Spielwürfel geworfen und
0:20 natürlich müssen wir zunächst wieder unsere Zufallsgröße x definieren denn wie so oft Mensch ärgere dich nicht und Co soll die Anzahl der Sechsen für uns
0:28 nur relevant sein des des en schreibt doch gerne mal noch mal in die Kommentare rein warum die Zufallsgröße x damit schon binomial verteilt ist denn
0:36 damit bekommen wir jetzt also alle unsere Parameter denn als n also die Länge der benulikette können wir eben hier vier angeben macht ihr das
0:45 unbedingt noch mal klar und wenn ihr Lust hast schreib es gerne noch mal in die Kommentare ob es eigentlich ein Unterschied macht ob man diese vier
0:51 Würfel alle gleichzeitig sozusagen ein Becher rein tut und dann würfelt oder ob man die auch nacheinander werfen darf denn wenn man einen einzelwürfel anguckt
1:00 dann tritt eben das Ereignis es kommt eine sech mit der Wahrscheinlichkeit ein Sechstel auf und mit Q bezeichnen wir wie üblich das Gegenereignis also das
1:09 keine se auftaucht mit der Wahrscheinlichkeit 5/6 und jetzt kleine Fleißaufgabe für dich noch mal mit dem Taschenrechner ein bisschen üben das
1:18 ganze kann man eben in eine Wahrscheinlichkeitsverteilung jetzt übertragen das bedeutet die Tabelle ist so aufgebaut dass die kleinen XI hier
1:25 eben die Werte annehmen die die Zufallsgröße x annehmen kann den denn von Null Treffer bis eben komplett vier von vier Treffer ist ja alles möglich
1:35 ich löse hier an der Stelle also die Fleiß auffgabe auf denn du sollest mit dem Taschenrechner diese Zahlen jetzt bestätigen können über die Geschichte
1:43 binomial PDF als kleines Stichwort und wer jetzt sagt ja das sieht alles so ein bisschen theoretisch aus das Tauchen viele Zahlen jetzt in so einer
1:51 Wahrscheinlichkeitsverteilung auf dem sei geholfen an dieser Stelle nämlich wer eher so ein bisschen der visuelle Typ ist der bekommt hier folgendes
1:59 gelieb wir können diese Informationen aus dieser Tabelle aus der Wahrscheinlichkeitsverteilung natürlich
2:05 auch in ein Schaubild übertragen und dieses Schaubild ist ein bisschen ähnlich aufgebaut wie so ein Koordinatensystem wir können also die
2:13 Treffer also die Werte die die Zufallsgröße x annehmen kann die können wir hier nach rechts abtragen das sind also die Werte von 0 bis 4 und die
2:22 zugehörigen Wahrscheinlichkeiten machen wir mal vielleicht hier folgendes Beispiel für einen Treffer haben wir die Wahrscheinlichkeit 0,38
2:30 das heißt die können wir jetzt hier nach oben auf der Y-Achse abtragen und 0,386 ja das wäre also genau hier und deswegen kommt hier beispielsweise diese
2:40 Säule für den einen Treffer zustande übrigens die Breite dieses dieser Säule ist genau mit eins gewählt damit ist auch klar dass der Flächeninhalt einer
2:51 solchen Säule eben genau diesem Wert nämlich der Wahrscheinlichkeit entspricht und das ist im Prinzip schon alles was hinter diesem Histogramm
2:59 steckt was jetzt aber noch eine ganz gute Nachricht ist für dieses Kapitel ist dass wir den Erwartungswert ein bisschen abkürzend berechnen können denn
3:08 Erwartungswert das kennst du schon der wird gerne mit e in Klammer x bezeichnet gibt also sozusagen das an was wir durchschnittlich auf lange Sicht pro
3:19 Durchgang erwarten können neu ist nur dieser griechische Buchstabe das ist nämlich ein kleines mü aber ansonsten kleine Erinnerung weißt du nämlich schon
3:27 wie man den berechnet denn wenn man eine Wahrscheinlichkeit Verteilung hat dann nimmt man zunächst mal die Werte die die Zufallsgröße eben annehmen kann
3:35 multipliziert die mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit rechnet also 0 x 0,482 1 x 0,386 2 x
3:45 0,116 und so weiter und addiert diese Geschichten anschließend und genau das habe ich hier an der Stelle mal gemacht und dann erhält man über diese ja
3:56 zugegeben etwas längere aber am Ende ähm einfache Rechnung einen Wert dafür wir sehen also der Wert beträgt hier ca 2 dr bzw 0,667 als Dezimalzahl
4:09 und da sollte jetzt bei dir etwas klingeln denn gucken wir doch noch mal diese Parameter an und ich habe die eingangs die Frage gestellt ist es
4:17 eigentlich egal ob ich diese vier Würfel jetzt in einen Spielwürfel sozusagen also in einen Becher reinpacke und dann alles auf einmal würfle oder ob ich die
4:28 eigentlich hintereinander würfle und da das ja offensichtlich völlig egal ist ist doch auch klar bei einem einzelnen Durchgang erhalte ich die SE
4:36 mit der Wahrscheinlichkeit ein sestel wenn ich jetzt aber die vierfache Chance habe dann erhalte ich doch die Wahrscheinlichkeit hierfür durch 4 x 1
4:45 Seel und 4 x 1/ das ist doch genau eben dasselbe wie 4/6 bzw wie 23 wir sehen also das ist natürlich genau dasselbe wie wir hier
4:59 jetzt auf auf diese Art und Weise rausbekommen neu ist also die Abkürzung wir brauchen also lediglich die beiden Parameter N und P können diese
5:09 multiplizieren und erhalten dann anstatt einer solchen langwierigen Rechnung eben bei einer binomial verteilten Zufallsgröße sofort unseren
5:17 Erwartungswert mü das ist also die eine Geschichte die wir berechnen können und genauso gibt's auch eine vereinfachte Formel für die Standardabweichung in
5:26 diesem Video geht's nicht darum was die Standardabweichung kann daz verweise ich gerne noch mal auf das frühere Video hier wollen wir uns nur angucken na ja
5:34 wie einfach man das jetzt berechnen kann denn die Formel hierfür gibt eben an dass wir auch nur die Parameter NP und jetzt jetzt brauchen wir aber noch das Q
5:44 mit reinnehmen und deswegen decke ich bzw löse ich hier direkt mal auf wenn mein Zeichenprogramm an der Stelle noch mitmachen möchte jawohl jetzt blendet
5:54 mir nämlich das ganze ein wir brauchen also lediglich die Werte für n für P und für die gegenwahrscheinlichkeit 1- P die man eben gerne auch durch Q ausdrücken
6:04 kann und da erhalten wir ja hier die Werte 4 166el und eben hier für Q 56 und davon muss man lediglich noch die Wurzel ziehen und erhält dann eben hier eine
6:14 Maßzahl für die Streuung einer Verteilung also um den Erwartungswert herum Video gerne noch mal anhalten denn kleine Quizfrage wie kriegt man jetzt
6:26 die Varianz und da ist dir natürlich klar moment mal die Varianz ist ja genau dasselbe wie die Standardabweichung lediglich ins Quadrat genommen und wenn
6:35 ich das hier ins Quadrat nehme ja was passiert denn mit Wurzel und Quadrat ja stimmt das ganze hebt sich ja auf deswegen ist die Varianz natürlich hier
6:43 von der Formel auch geschenkt wir decken also auf müssen hier lediglich n* P* 1- P also n mal P mal Q rechnen und können uns die Wurzel sogar noch schenken das
6:56 sind also die Neuerungen in diesem Kapitel die du gerne natürlich an wenden darfst zum Abschluss von diesem Video gibt's noch mal ein paar Tipps die ja
7:04 ganz gut zu wissen sind und dazu gucken wir uns eben dieses mü dieses neue mü hier gerne noch mal an denn da kann man folgende Aussagen treffen manchmal ist
7:14 dieses mü eine ganze Zahl dann weiß man auch automatisch dass die höchste Säule an dieser Stelle liegen muss aber wie in unserem Beispiel gesehen muss mü nicht
7:24 immer eine ganze Zahl sein sondern kann auch hier mal eben mit zwe Drittel eine Dezimalzahl bei beispielsweise 0,66 oder ähnliches sein dann sehen wir dass die
7:33 höchste Säule sich direkt daneben befinden muss also entweder bei der nächsten natürlichen Zahl 1 oder eben 0 und in diesem Falle
7:42 ist hier bei der 0 natürlich die höchste Säule Achtung wichtige Info hat also nichts mit runden oder so zu tun dass die ein sozusagen näher an der 0,6 dran
7:52 ist sondern wir können lediglich die Aussage treffen dass irgendeine Säule direkt daneben dann die höchste sein muss in
7:59 ist es auch gut zu wissen dass je größer dieses Sigma also die Standardabweichung wird dass dann natürlich auch das Histogramm etwas breiter ist gerne
8:08 wieder an die Müsli Packungen erinnern aus dem vorigen Video und zum letzten kann man auch noch ein sogenanntes Sigma Intervall definieren das heißt also das
8:18 ist genau das Intervall man nimmt sozusagen das mü also der Erwartungswert geht davon eine Standardabweichung nach links und geht anschließend eine
8:28 Standardabweichung nach rechts und genau dieses Intervall das guckt man sich da an und da stellt man so ein paar ja durchaus interessante Zusammenhänge fest
8:37 aber die werden dann Gegenstand eines nächsten Videos und deswegen wenn du Lust hast bleib doch natürlich gerne dran wenn du mehr dazu erfahren willst
8:46 für dieses Video war's das allerdings deswegen bedanke ich mich fürs zusehen und gerne bis zum nächsten
8:53 Mal