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Trigonometrische Gleichungen lösen #3: alle Lösungen in einem Intervall (Beispiel für Sinus)
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 37 Zeilen
- bonn zusammen wie berechnet man alle lösungen einer trigonometrische gleichung für ein gegebenes intervall wir schauen uns ein beispiel ausführlich
- an das vorgehen ist immer dasselbe egal ob du sinus oder cosinus hass und egal ob du mit oder ohne taschenrechner rechnet
- wir wollen jetzt alle lösungen von 2x 1 gleich null im intervall von 0 bis 4 und dafür berechnen wir zuerst irgendeine lösung so wie wir das schon gemacht
- haben das heißt wir legen zuerst den sinus baustein frei indem wir +1 und geteilt durch zwei rechnungen dann haben wir links nur noch sinus px dastehen und
- rechts ein halb das ist jetzt eine aufgabe für den taschenrechner wir machen also sinus hoch - 1 links fällt dann ohne rechnung dass - weg und es
- steht nur noch px da rechts - hoch - einst von eineinhalb ist ein sechstel p letzter schritt wir teilen durch das pi und haben dann als erste lösung ex
- gleich ein sechstel ohne taschenrechner würde hier nicht so was ihr ein halb stehen sondern 1 0 oder - einzeln findest du ihn mit einer kleinen spitze
- der grundfunktion die richtige stelle herausfinden als nächstes brauchen wir die perioden länge von sinus baustein für die
- perioden länge musst du zwei geteilt durch das was vom iks in der klammer steht rechnen dh in dem fall durch pi dann kürzeste weg und als perioden länge
- kommt ihr zwei heraus und jetzt erstellen wir eine skizze von unserem sinus baustein das heißt von sinus px für unser intervall also von 0 bis 4
- und weil wir bei null starten also nicht ins negative gehen müssen habe ich die y-achse auch ganz weit links gezeichnet der sinus startet im ursprung das heißt
- von der null geht es hoch zum 1 tipp für eine gute skizze zwei kästchen rüber zwei kästchen hoch dann geht es wieder runter zu null
- weiter runter zu -1 und dann wieder hoch zu null hier haben eine periode durchlaufen perioden länge
- ist 2 das heißt an der stelle hier sind wir bei da2 wir wollen aber von 0 bis 4 alle lösungen bestimmen das heißt wir müssen weiter zeichnen wir fahren also
- wieder an hoch zu eins dann wieder zu null weiter runter zu -1 und dann wieder zu null
- hier sind wir jetzt von der 22 weiter gelaufen also bei der 4 damit haben wir eine skizze von sinus px für das intervall von 0 bis 4 ich
- wechsele jetzt auf das richtige schaubild damit wirklich klar wird wie es weitergeht wenn du die idee verstanden hast dann reicht eine gute
- skizze vollkommen aus als nächstes müssen wir die stelle markieren an der wir die erste lösung haben das ist ein sechstel schauen wir wenn hier zwei ist
- dann ist bei der hälfte eins noch mal die hälfte ist ein halt noch mal die hälfte ist ein viertel und ein sechstel ist noch kleiner als ein viertel
- weil je größer der männer also die zeiten umso kleiner ist der wert wir sind also irgendwo in dem bereich ihr ich mach das kreuz dahin
- das muss nicht perfekt passen das ist eine skizze aber du musst halt im richtigen bereich seien und jetzt suchen wir alle stellen die den gleichen typs i
- lon wert haben das heißt wo die kurse die gleiche höhe über der x-achse hat und wenn wir hier gucken das gibt's hier hinten noch mal und jetzt kommt die
- entscheidende idee diese bögen sind symmetrisch zur mittelachse des heißt so weit wie du von links rein laufen muss für die erste lösung genauso weit musst
- du von rechts reihen laufen für die zweite lösung und wir sind ja an der stelle ein sechstel das heißt wir sind von der null ein sechstel reingelaufen
- hier müssen wir also ein sechstel nach links laufen dh wir rechnen 1 - 1 6 und 1 ist ein einzel oder 66 - ein sechster sind 56 und das ist unsere zweite lösung
- dann gucken wir weiter wo haben wir nochmal die gleiche höhe also den gleichen y wert und das ist hier der fall
- da sind wir in der nächsten periode das heißt es gibt zwei möglichkeiten die erste möglichkeit ist wir machen das gleiche wie hier vorne weil der bogen
- ist deckungsgleich zudem das heißt wenn wir vom linken rand 1 6 reinlaufen also 2 plus 1 6 rechnen dann sind wir in der richtigen
- alle und da kommt 13 sechste heraus dann gucken wir weiter hier haben wir noch mal den gleichen y wert das heißt wir müssen vom rechten
- bogen rand ein sechstel zurücklaufen wir sind hier zwischen zwei und vier also bei der 3 das heißt müssen 3 - 1 6 berechnung und da kommt dann als vierte
- und letzte lösung 17 6 0 heraus wir hätten wir x3 und x4 noch berechnen können unsere grund periode hört ja bei 2 auf und wir hatten das schon mal wenn
- du auf eine bestehende lösung die perioden länger addiert dann erhältst du die entsprechende lösung in der nächsten periode das heißt wenn wir auf die ein
- sechster zwei drauf addieren langen wir auf 13 6 wenn wir auf 5 623 aufaddieren landen wir auf 17 6 und wenn jetzt in unserem intervall noch
- eine periode wäre dann hätten wir wieder plus 2+2 rechnen können also nochmal zusammengefasst eine lösung berechnen perioden länge berechnen
- saubere skizze machen und die erste lösung eintragen und dann überlegen wie kannst du über symmetrie oder addieren von perioden lenkt die weiteren lösungen
- berechnen das war's mit einem kompletten beispiel dazu wie du für trigonometrische gleichungen alle lösungen in einem
- intervall berechnen kannst
Zum Nachlesen
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