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PRÜFUNG BEWEIS Schwerpunkt im Dreieck ist Schnittpunkt der Seitenhalbierenden, S=1/3*(A+B+C)
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 144 Zeilen
- hey ich bin matte peter uns in dieser klausur aufgabe sollen wir mit mitteln der analytischen geometrie beweisen dass die seiten halbieren eines dreiecks im
- zweidimensionalen sich im geometrischen schwerpunkt des dreiecks schneiden also dem arithmetischen mittel der drei eckpunkte
- sozusagen tatsächlich haben wir diesen beweis auch schon mal in einem anderen video geführt schaust dir gern noch mal an wenn dich
- das interessiert allerdings haben wir dort eine information genutzt die ich persönlich bisher nur aus der geometrie kannte und zwar dass dieser geometrische
- schwerpunkt die seiten halbieren im verhältnis zwei zu eins unterteilt mit dieser information es ist ziemlich einfach auf diesen geometrischen
- schwerpunkte zu kommen wir sollten jetzt allerdings nur mit mitteln der analytischen geometrie arbeiten und da denke ich persönlich zuerst einmal an
- das was in der schule gemacht haben als wir den schnittpunkt von geraden bestimmt haben wir haben diese geraten gleichgesetzt nach einem der parameter
- umgestellt und dann diesen parameter in die entsprechende gleichung wieder eingesetzt und schon hatten wir die lösung genauso würde ich auch hier gerne
- vorgehen lasst uns aber erst einmal gerne dieses problem illustrieren damit wir ungefähr wissen worum es hier eigentlich geht gegeben sind drei
- eckpunkte a b und c die ein dreieck aufspannen außerdem haben wir solche seiten halbieren das sind strecken die von
- einem eckpunkt zur mitte der gegenüber liegenden seite laufen also hier zum beispiel das wäre die seiten halbieren ich nenne es mal as a wenn wir ruhig
- diesen mittelpunkt hier auf der strecke bcm also ist im mittelpunkt gegenüber von a und das haben wir auch schon mal mit mitteln der analytische geometrie
- mit hilfe der vector rechnung gezeigt dass dieser mittelpunkt gerade die hälfte von der summe der beiden ist also quasi auch
- das arithmetische mittel von diesen beiden eckpunkte dann haben wir auch noch eine seiten halbieren auf der strecke von a nach c
- also ein mittelpunkt der gegenüber von b liegt als die hälfte von a+ 10 und diese strecke hier wäre dann die seiten halbieren sb und wir haben noch
- einen mittelpunkt gegenüber von c es ist gerade die hälfte von a + b und diese verbindung wäre dann die
- seiten halbieren sc und alle drei schneiden sich im geometrischen schwerpunkt es über den wir jetzt zeigen sollen dass es das arithmetische mittel
- aus dem dreieck punkten ist okay und wie gesagt mir an dieser stelle fällt einfach nur ein die geraden gleichungen von den seiten halbieren aufzustellen
- gleichzusetzen und dann nach dem entsprechenden parameter umzustellen wenn du eine andere vielleicht sogar bessere oder schnellere lösung hast dann
- schreibst du einfach gerne unten in die kommentare rein los geht die seiten halbieren usa das ist eine strecke die von a nach ma
- läuft von a nach ma oder auch von ma nach aber das spielt an dieser stelle keine rolle und die parametrisierung davon sieht so
- aus wir nehmen uns einen start vor plus parameter mal dem richtungswechsel also der differenz von diesen beiden punkten dhm a -
- nochmals im vergleich dass das auch wirklich richtig ist was wir aufgeschrieben haben das ist eine lineare funktion also tekom nur linear
- vor wenn gleich null ist sind wir bei a wenngleich 1 ist dann sind wir bei m&a und ja damit beschreiben wir tatsächlich diese strecke hier also insofern t
- wirklich zwischen 0 und 1 liegt kann aber auch gerne von mir aus größere werte an den größer als ein zudem außerhalb oder kleiner als 0 sind wir
- unterhalb spielt für mich keine rolle ich interessiere mich nur für diesen punkt ja aber das hier wäre die parametrisierung der seiten halbieren in
- einer strecke so und jetzt nehmen wir uns einfach noch eine zweite funktion zb sb wir können das ganze auch für sc machen
- aber ich würde einfach den beweis mit hilfe dieser beiden strecken hier führen wir haben darauf seine parameter bestimmen dann hier um
- einsetzen und auf das ergebnis kommt und dann kann man ja gerne noch den ganzen spaß auch nochmal für sc machen gucken ob das wirklich stimmt als eine kleine
- probe sozusagen ja für die rechnungen an sich brauchen wir aber nur zwei geraden und müssen davon den schnittpunkt bestimmt bei sb ist es gerade
- eine strecke von b nach mb beispielsweise oder von mb nach b und da finden wir auch wieder den starken plus ist der nächsten buchstaben im alphabet
- einmal mb - b2 sich ebenfalls zwischen 0 und 1 befinden muss wenn es sich tatsächlich eine
- strecke handelt wie gesagt mir ist egal es können auch eigentlich wegnehmen wir können auch die geraden betrachten so was ich an dieser stelle ja noch machen
- möchte bevor es weitergeht ich würde gerne das noch ein bisschen schöner schreiben denn für ma mal gesagt das ist gerade das arithmetische mittel aus b
- und c einfach nur um die ganze zeit mit a b und c zu arbeiten also dem was wir auch im endergebnis stehen haben wollen das heißt also dass hier wäre a-plus
- thema also jetzt aufgepasst die hälfte von b + die hälfte von c und am ende noch - also haben wir eben nur a b und c der drei vorkommt und bei dieser zweiten
- strecke hier machen es genauso wie plus x jetzt aufgepasst am mb ist hier die hälfte von a-plus die hälfte von c und am ende noch
- - b also damit könne arbeiten und in der schulzeit war es doch jetzt so dass wenn wir den schnittpunkt von geraden herausfinden wollten aber ich strecken
- ist es nicht anders dass wir die einfach gleich gesetzt haben also dass wir einfach gesagt haben an dieser stelle einst gleich zwei es
- war gleich sb beziehungsweise wäre das hier gleichbedeutend damit dass das thema ja ein bisschen schreibarbeit hört jetzt aber da zu
- dieser klammer ist gleich ist wie b + x dieser klammer hier von der zweiten strecke gleich
- und jetzt gibt es tatsächlich mehrere möglichkeiten weiter zu machen da wir uns hier in zweidimensionalen befinden könnten wir auch jeweils zwei
- komponenten aufschreiben also im endeffekt hätten wir hier zwei gleichungen und wir müssen dieses gleichnis system nach tee oder nach
- auflösen jetzt trifft es sich aber ganz gut dass wir hier nur zwei komponenten haben und auch nur unter zwei parameter mit
- anderen worten dieses gleichnis system das hier steht wenn man das noch ein bisschen ordentlich umschreiben können wir auch mit hilfe von kreuz produkten
- oder noch allgemeiner mit hilfe von determinanten lösen das passt gerade hier so gut von den dimensionen eventuell war das auch so gedacht dass
- das dreieck im zweidimensionalen vorgegeben war so woran ich jetzt also denke ist das a und b weil es ja keine parameter beinhaltet auf eine seite
- bringe und tee und auf die andere seite und jetzt noch ein bisschen schreibarbeit aber ich würde einfach diese new term hier auf die linke seite
- darüber ziehen also das dann dasteht und wissen was ich machen ich werde auch einfach diese klammer mal vor dass t setzt ist spielt eigentlich keine rolle
- naja ich gab ihr die reihenfolge der faktoren vertauschen ich möchte nur dass dir dann selbst bewusst wird was ich hier eigentlich vorhabe damit ist so
- eine art form annimmt die du vielleicht schon mal gesehen hast in einem anderen zusammenhang damit können wir uns jetzt nämlich ordentlich arbeit sparen und
- müssen das nicht als zwei einzelne gleichungen aufschreiben gleich b - das ist was ich getan habe ich habe diesen übergezogen auch steht
- hier - ja auch die die reihenfolge vertauscht auch hier die reihenfolge das darf ich ja machen und auf der anderen seite steht eben das b mit rübergezogen
- immer so das was hier steht noch mal das ist ein liegen jahres gleichung system in diesen parametern tee und es gibt hier genau genommen zwei gleichungen ja
- so wie wir auch zwei parameter haben das heißt also wir können dieses gleichung system eindeutig nach also nach und nach auflösen gut insofern
- die drei punkte nicht auf einer geraden ist aber nicht der fall die spanien dreieck auf so und dieses auflösen da müssen wir gar nicht einmal groß
- irgendwas umstellen herum dann wieder einzusetzen und hin und her sondern wir können beispielsweise mit der regel von cramer arbeiten ich denke dass es
- zulässig ist an dieser stelle um solche gleichung systeme zu lösen schreibt aber gern noch mal deine meinung dazu in die kommentare ob wir uns dann immer noch im
- bereich der analytischen geometrie befinden aber da wir ja auch in der schulzeit solche gleichung systeme gelöst haben um schnittpunkte zu
- bestimmen ist meine meinung dass es in ordnung ist ja und die regel von cramer die besagt jetzt folgendes dass wir sofort an diese
- parameter tour herankommen einer von uns beiden reicht uns ja auch außen zum beispiel nur tee in dem wir determinanten bilden und zwar einmal die
- determinante von der sogenannten koeffizienten matrix also dem was an tee und in beiden gleichungen weil seine zwei gleichungen
- als zweidimensionale ist alles dran multipliziert ist und da haben wir zum einen diese spalte hier also ein halb b + ein
- halb zehn das ist eine spalte weil er besteht aus zwei komponenten und diesen termin hier also - ein halb
- plus ein halb csb so die determinante dieser matrix die hier steht das ist die determinante der sogenannten koeffizient matrix durch demos laut
- regel von cramer geteilt werden schau dir auch gern noch mal die videos zur regel von kramer an wenn ich das ja noch mal im detail interessiert und was oben
- im zähler steht ist ebenfalls eine determinante allerdings aufgepasst wenn wir jetzt t ausrechnen wollen dann also die erste variable sozusagen
- da muss auch hier die erste spalte durch die rechte seite ersetzt werden wenn wir ausrechnen wollen würden dann müssten wir hier die zweite spalte durch die
- rechte seite ersetzen wir wollen die erste zahl ausrechnen hier diesen ersten parameter also setzen wir das auch für diesen ersten wie die erste spalte ein
- also b - a steht jetzt vorne und das was hinten steht also diese zweite spalte die wird unverändert übernommen das war das was anders dran multipliziert ist
- und nicht an das thema und bevor ich jetzt gleich ab wäsche und um ein bisschen platz zu schaffen damit wir das hier noch vereinfachen können um was
- auszurechnen würde ich gerne noch ein kleines determinanten rechnung gesetz zu benutzen ist nicht viel haben wir müssen es nicht tun aber
- wenn wir erkennen dass in einer spalte beispielsweise ein faktor drinsteckt können wir ihn rausziehen das ist ein determinanten rechten sind und ich
- erkenne ganz offensichtlich dass in der zweiten spalte minuszeichen davor stellen also kann ich diesen faktor x -1 einfach nach draußen ziehen genauso gut
- kann ich aber auch dieses - hier unten nach draußen ziehen und worauf ich hinaus möchte ist das minus - sich gegenseitig weg kennt sind also im
- folgenden mache ich ihn raus pluszeichen damit ich nicht noch weitere verschachtelungen hier habe auch wenn jetzt der termin wir gerade raus
- bekommen haben etwas seltsam aussieht können wir ihnen tatsächlich mit sehr einfachen rechen regeln für determinanten klein bekommen für
- determinanten gilt die sogenannte multi linearität das eine ganz besondere eigenschaft sogar ein aktion für determinante funktionen das bedeutet
- dass sie liegen ja bezüglich jeder zeile beziehungsweise spalte ist oder noch einfacher ausgedrückt wir dürfen jeden summenden aus der ersten spalte mit
- jedem summen aus der zweiten spalte jeweils in eine matrix packen und davon die determinante bilden und dann all diese determinanten ganz einfach auf
- addieren fangen wir mal an mit dem zähler und wenn ich sie einmal gezeigt hat dann wird dir sofort klar was gemeint ist wir dürfen jetzt hier daraus
- machen determinante von jetzt nehmen wir beispielsweise diesen spalt mac tor b aber dass in diesen summen - erst mal weg und
- verbinden das mit diesen summen hier mit ein halb wobei die eineinhalb die zugleich nach draußen naja es dürfen auch machen auch nun rächen gesetzt und
- es wird über eineinhalb mal determinante von dieser matrix die in der ersten spalte b hat als vektor und in der zweiten spalte a hat als vektor dann
- geht es aber weiter jetzt kommen wir auch noch dass beh hier mit dieser ein halb zehn auch hier können wir wieder diese einhalb nach
- draußen ziehen haben diese determinante und zu guter letzt haben wir noch arm die determinante von den beiden eigentlich kann ich die auch weglassen
- aber ich schreibe sie trotzdem noch mit auf das - die ich gleich raus du wirst eine konstante ist determinante von erste spalte b zweite spalte b ok wenn
- die beiden spalten gleich sind dann sind sie liegen ja abhängig die determinante muss gleich null sein ist gut fällt erstmal weg jetzt müssen wir allerdings
- auch noch alle anderen kombinationen durchführen wobei vorne eben - a steht oder besser gesagt wir ziehen das - einfach gleich wieder nach draußen name
- - ein halb determinante von a und das ist was ich getan habe einfach die vor faktoren des - und die ein halb gleich nach draußen gezogen gut determinante
- von aa und aaa ist ebenfalls rechnung dann haben wir noch - eineinhalb mal determinante von a und c und zu guter letzt noch lust habe ich - - plus
- determinante von a und b das gleiche können wir jetzt auch noch unten im nenner machen wenn wir dort nämlich aus multiplizieren dann haben
- wir jetzt nicht nur sechs monaten nach wir hatten zweimal drei waren sechs sondern dreimal drei jetzt neun summenden okay lass uns das noch
- durchziehen und dann schauen wir noch mal was bei rauskommen aber das ist kann ich dir versprechen der letzte große aufwand dem mit dem wir zu kämpfen haben
- wir nehmen jetzt die determinante einer matrix die nur diesen ersten so nannten und diesen ersten so wandeln beinhaltet die eineinhalb und ein halb können wir
- zu einem viertel zusammenfassen und nach draußen ziehen und haben hier noch pa über weiter geht es mit den beiden dann haben wir noch ein viertel mal der
- determinante von bc und weißt du was diesen sogenannten dass ich einfach gleich weg ja determinante von b b da wissen wir schon
- ist gleich null ich möchte mir den platz lieber sparen also denen dass ich weg weiter mache ich mit diesen beiden hier das heißt wir haben noch plus ein
- viertel mal der determinante von ca die cc lasse ich wieder weg wird zu null und die beiden ergeben dann wenn ich die
- konstanten rausziehen - eineinhalb mal determinante von der matrix cw und dann habe ich am ende noch das a hier über das muss ich auch mit allen
- drei kombinieren aber a und a wie gesagt dass ich weg na ja die termine von aaa ist dann wieder 0 das heißt über bleiben die beiden noch - determinante von
- einhalb wo sie wollen auch die inhalt irgendwie noch mit der zu quetschen - ein halb ac und zu guter letzt haben wir noch plus
- determinante von abe so und jetzt müssen wir zähler und männer noch durcheinander teilen bevor
- wir das aber tun können wir noch ein kleines bisschen zusammenfassen beispielsweise haben wir wenn ich mir das hier anschaue determinante von a- b-
- und c-prominente von beata da haben wir ein bisschen um form und die gleiche determinante stehen es geht nämlich
- cooles rechen gesetzt wenn wir spalten vertauschen innerhalb der matrix von der wir die determinante bestimmen wollen dann ändert sich lediglich das
- vorzeichen mit einer worten wenn ich dieses bh umdrehen möchte zu abb sowie hier ist dann ändert sich nur das vorzeichen das ist quasi - ein halt mal
- determinante von abe so das heißt wir haben einmal die determinante und - ein halt mal zusammengefasst ergibt dass gerade
- eineinhalb mal die determinante von abe aber mit meinen zusammen fast immer noch was zusammenfassen wir haben noch ac und wir
- haben noch b 10 an die lassen sich nicht besser zusammenfassen schade gut in der zweiten zeile mit männer da können wir den gleichen spaß machen wir einmal die
- determinante von a- b- und ein viertel mal die determinante von pa wenn wir hier die beiden wieder umdrehen ändert sich das vorzeichen
- haben wir quasi eins - ein viertel das sind dann am ende drei viertel mal die determinante von aw wir noch was zusammenfassen ja auf jeden fall ac
- lässt sich noch zusammenfassen das heißt wir haben hier ein viertel mal ca und hier - ein halt mal ac3 flotten vector fall vergessen
- ja wir machen es am schlimmsten hier oben hat man a 10 lasst uns doch alles zu ac umdreht das heißt wenn wir hier bis zu ac umdreht ändert sich das
- vorzeichen wir haben - ein viertel - ein viertel - ein halt das sind gerade - drei viertel mal die determinante von aci sind immer
- gleich die zusammengefassten werde und bcb kam auch noch zusammenfassen nehmen wir am besten auch bc bis hier oben steht ja das drehen mit den hier um wir
- drehen den umändern das vorzeichen zu plus ein halt ein viertel plus ein halb sind wir bei drei viertel und dann haben wir es also mal bei drei
- viertel mal der determinante von b/c so und jetzt komm ich aufgabe abschließen witzigerweise denn vergleicht die doch mal miteinander
- zähler und nenner da kommen doch genau die gleichen summen vor eben nur mit anderen faktoren wenn wir also oben im zehner beispielsweise aber genau schauen
- haben doch nur noch eineinhalb eineinhalb eine - ein halt wenn wir dort also eineinhalb ausklammern dann bleibt über den zuerst
- ordnung ja ein halb mal die ausgeklammert aber noch die determinante von abb dann haben wir noch die determinante von
- bc wie gesagt ja ein halbes ausgeklammert und wir haben noch - der determinante
- von ac a d ein halb ist wie gesagt ausgeklammert und unten im nenner da haben wir überall drei viertel davor stehen wenn wir hier die drei viertel
- ausklammern dann haben wir auch hier die determinante von abe moment wohlstands hier dann haben wir noch die determinante von bc
- und wir haben - drei viertel also quasi noch - einmal determinante von ac und was für ein wunder zähler und männer sind gleich bis auf
- die vier faktoren der komplette zähler hier und hier die ganzen klammern kürzen sich raus und für t bleibt als parameter über ein halb geteilt durch drei viertel
- gut eineinhalb durch drei viertel das team auch noch hin wenn wir hier nehme ich diesen doppel bruch auflösen haben wir quasi einen halt mal vier drittel
- erinnerlich bruchrechnung durch einen bruch zu teilen ist die mit dem care wert zu multiplizieren über bleibt also wenn man das weg kürzen zwei drittel und
- das entspricht auch genau dem was ich persönlich aus der geometrie kannte das der geometrische schwerpunkt die seiten halbieren im verhältnis zwei
- zu eins unterteilt zwei drittel der strecke liegen auf der einen seite ein drittel der strecke auf der anderen verhältnis 2 zu 1 und wenn wir jetzt
- dieses t noch in diese seiten halbieren usa einsetzen habe ich leider ab gewünscht dass wir noch mal kurz auf schreiben das war ja gerade
- ma beziehungsweise haben wir es ja noch ausgeschrieben zu a-plus thema wasser lassen dann ma - also hier
- ein halb x b + eineinhalbmal c - aber es war noch ausgeschrieben für tee zwischen 91 und ja und natürlich auch zu schnell ist perfekt wenn wir diesen wert jetzt
- einsetzen dann haben es geschafft wenn wir jetzt nehme ich hier mal zwei drittel rechnen sei dann bleibt über zwei drittel mal
- ein halb ist ein drittel ein drittel b ein drittel zäh es war gut ein drittel der note c wir haben aber auch minus 23 plus einem
- ganzen das bedeutet auch ein drittel also im endeffekt haben wir genau das was wir am ende raus bekommen wollten ein drittel von jedem dieser eckpunkte
- beziehungsweise wenn wir jetzt noch die eintritte ausklammern dann bleibt genau das stehen was hier oben steht das arid u ethische mittel der drei eckpunkte
- damit haben den geometrischen schwerpunkt und die den schnittpunkt der seiten herausgefunden probiert das ganze noch mal zur probe für die dritte seite
- halbieren aufgrund der symmetrie es ist aber so dass alle parameter zwei drittel sind das bedeutet der unterteilt tatsächlich auch nicht nur diese strecke
- im verhältnis zwei zu eins sondern auch diese strecke im verhältnis zwei zu eins und auch diese strecke im verhältnis 2 zu 1 und damit ist der bereits
- abgeschlossen viel spaß und bis zum nächsten video hey ich hoffe das video hat er gerade gefallen wenn du dich demnächst auf einer matte prüfung
- vorbereiten muss dann schaue unbedingt mal unter diesem video nach ich habe dort mehrere von meinen online kursen verlinkte die ich bestmöglich auf deine
- mathe prüfung vorbereiten wenn ihr das video weitergeholfen hat und du mich in zukunft unterstützen möchtest dann erzählt einfach seinen kommilitonen
- deinen freunden und seiner familie von mir und abonniert den kanal danke dir
Zum Nachlesen
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