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Ableitung Kettenregel – Wurzeln ableiten
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 45 Zeilen
- hallo ihr Lieben heute möchte ich euch Schritt für Schritt zeigen wie man die Ableitung von dieser Funktion hier bestimmen kann schauen wir uns erstmal
- an wie die aufgebaut ist damit wir wissen wie wir sie dann überhaupt ableiten können wir sehen dass unser x hier an dieser Stelle vorkommt das X
- befindet sich dann aber auch noch in einer Wurzel diese Wurzel befindet sich in einer Klammer zusammen mit dem Teil hier also all das befindet sich in einer
- Klammer und dann haben wir das ganz noch hoch 3 wir haben also Funktionen die ineinander verschachtelt sind und wir haben es jetzt mal so markiert dass all
- das was in der Klammer ist ist unsere innere Funktion wir haben wir grün markiert und all das was drumherum außen ist das ist unsere äußere Funktion die
- haben wir hier jetzt orange markiert um sowas ableiten zu können müssen wir die Kettenregel anwenden die sagt nämlich folgendes wenn wir die Ableitung bilden
- wollen also F von X bilden möchten dann können wir das machen indem wir die innere Funktion also alles was wir grün markiert haben einmal ableiten und dann
- multiplizieren mit der äußeren Ableitung also dem was wir hier orange markiert haben wir müssen also die innere Ableitung und die äußere Ableitung
- bilden und dazu würde ich euch immer vorschlagen schnappt euch erstmal nur das was wirklich grün markiert ist also nur das was innen ist und bildet davon
- mal die Ableitung und das machen wir jetzt auf der nächsten Seite also wir schnappen uns nur das grüne das sieht hier so aus die Funktion habe ich dann
- einfach mal g von X genannt einfach nur mal Namen gegeben damit wir hier sagen können okay ich will jetzt die Ableitung davon bilden dann das brauche ich für
- die Kettenregel also sieht jetzt hier alles ein bisschen einfacher aus aber wir bilden ganz normal die Ableitung sobald eine Wurzel ins Spiel kommt würde
- ich euch vorschlagen das umzuschreiben also nicht die Wurzel stehen zu lassen sondern eine Wurzel kann man ja auch umschreiben in ein Hoch einhalb also
- statt der Wurzel schreiben wir einfach f das ganze in ein hochin halb um dann lässt sich nämlich leichter ableiten und das was unter der Wurzel Stand kommt
- dann hier in die Klammer rein also einfach die dre x einfach nur umschreiben und jetzt leiten wir das ganze Ding aber ab das heißt hier die
- ein was passiert da beim Ableiten da ist gar kein X drin das ist eine konstante die fällt beim Ableiten einfach weg okay darum haben wir uns schon mal gekümmert
- ein Minus vor einer Klammer wird einfach beim Ableiten mitgenommen einfach hinschreiben und dann müssen wir das hier jetzt ableiten
- erkennt ihr die Struktur die wir eben schon gesehen haben wenn wir das jetzt ableiten wollen haben wir hier schon wieder eine Klammer da steht also was
- drin mit X in dieser Klammer und dann haben wir eben diese Klammer hoch ein/b das ist schon wieder eine ineinander verschachtelte Funktion also eine
- Funktion die in einer anderen steckt und da brauchen wir jetzt schon wieder die Kettenregel um das ableiten zu können die kennen wir jetzt aber schon die sagt
- nimm das grüne das Innere und leite es einmal ab und multipli iere es mit der äußeren Ableitung also dem orangenen okay das Minus dürf man nicht vergessen
- dass hier stand das grüne abgeleitet nur nur die 3x abgeleitet ist ja so das X fällt beim Ableiten weg und nur die Zahl die vorne dran Stand bleibt dann stehen
- also nur die drei übernehmen wir hier als innere Ableitung haben wir dann kommt mal und jetzt leiten wir die äußere Funktion ab also das orangene
- dabei geht man dann immer so vor dass man das grüne erstm ignoriert weil wir kümmern uns ja jetzt um das orangene also um dieses irgendwas hoch einhalb
- wie leitet man das ab da ist die Regel doch so dass die Hochzahl nach vorne gezogen wird also dass ein halb vorne dran landet und dann die Hochzahl eins
- kleiner gemacht wird also ich schreib die Klammern mal hin und die Hochzahl 1/b- 1 wird dann gerechnet da kommen wir bei - 1/b raus das ist die ganz normale
- Regel was passiert jetzt mit dem Ding hier drin mit dem grünen das wird einfach übernommen das verändert ihr nicht also die 3x weil das ja grün ist
- wir sind ja gerade beim orangenen gewesen das 3x wird einfach mit wieder hier reingezogen ihr verändert nur die Sachen die außen sind das was innen war
- wird hier wieder reingeschrieben und dann haben wir jetzt hier unsere Ableitung die können wir jetzt noch ein bisschen schöner machen
- das Minus lassen wir stehen aber 3 x 1/b 3 x 1 sind 3 und die halbe unten hin und hier haben wir ja eine negative Hochzahl die können wir mal positiv machen indem
- wir immer dann ein 1 geteilt durchmachen dann darf man das ganze Ding noch mal hinschreiben aber ohne das Minus also diese 3x in Klammern und hoch ein/b
- kommt dann einfach hin das Minus ist dann nicht mehr da und statt hoch ein/b könnten wir das jetzt noch ein bisschen schöner schreiben indem wir das wieder
- in die wurzelschreibweise umschreiben also statt dem hochinhalb packen wir einfach wieder eine Wurzel drumhum das heißt den ganzen Spaß da mache ich mal
- weg und einfach nur eine Wurzel drumhum das wäre eine schönere kompaktere Schreibweise für was haben wir gerade gemacht die innere grüne Funktion einmal
- abgeleitet das ist die Ableitung von wir gehen zurück wo wir herkamen hier das grüne wollten wir ableiten das ist jetzt hier das Ergebnis das habe ich hier
- hingeschrieben das bedeutet grün abgeleitet haben wir geschafft das nehme ich einfach mal von hier hier rüber das ist der erste Teil gewesen dann kommt
- mal und jetzt müssen wir das Orangen ableiten also die äußere Funktion das wissen wir jetzt aber mittlerweile wie es geht die orangene sagt irgendwas also
- wir ignorieren erstmal das grüne da drin irgendwas hoch 3 das heißt die Hochzahl wird nach vorne gezogen und dann eins kleiner gemacht also die dre wandert
- vorne hin dann kommt der ganze klammerausdruck und die Hochzahl wird eins kleiner gemacht zu einer Z was haben wir gesagt wenn wir das Äußere
- ableiten dann fassen wir das grüne nicht an ihr schreibt es genauso egal wie es aussieht genauso dann wieder rein weil wir haben ja die äußere Funktion
- abgeleitet und um die Grüne hatten wir uns ja schon gekümmert okay das hier ist jetzt die Ableitung dafür kriegt man auch schon viele Punkte aber ein
- bisschen schöner kann man sie noch machen das Minus übernehmen wir mal wir gucken ob wir was kürzen können nicht so wirklich wir könnten hier einen großen
- Bruch draus machen 3 x 1 3 sind neun die zwei hier vorne in den Nenner genauso diesen wurzelausdruck übernehmen wir einfach hier in den Nenner und dann
- haben wir hier hinten einfach nur noch die Klammer stehen und damit haben wir unsere Ableitung gefunden dann hoffe ich dass euch geholfen hat falls ihr Fragen
- habt schreibt sie gerne in die Kommentare ansonsten habt noch einen wunderschönen Tag und wir sehen uns beim nächsten Video macht's gut
Zum Nachlesen
KettenregelDie Kettenregel ist eine grundlegende Ableitungsregel. Mit ihr wird die Ableitung einer Verkettung zweier differenzierbarer Funktionen berechnet.
AnalysisDiesen Quotienten nennt man den Differenzenquotienten oder mittlere Änderungsrate. Wenn wir nun die Stelle x 1 {\displaystyle x_{1}} {\displaystyle x_{1} …