Integralrechnung - Rekonstruktion von Beständen | Visual X
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https://www.youtube.com/watch?v=RNSmXMUqMNg

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 was durch ja gerade siehst beschreibt die beiden grundlegenden aspekte der integralrechnung zum einen die flächen halte unter dem grafen eine funktion die
0:08 wir auf magische art und weise berechnet werden und zum anderen dass mit diesen flächen enthalten ein ursprünglicher bestand wieder hergestellt wird
0:16 was sich genau mit diesen beiden aspekten meine und wie sie zusammenhängen da schauen uns heute in diesem video
0:24 [Musik] starten wir mit einem beispiel bei denen sich ein heißluftballon zwischen zwei
0:39 punkten vom wind treiben lässt wir schauen uns die bewegung des balance innerhalb einer zeitspanne von zehn sekunden an
0:45 und ja so wie es aussieht ändert der wind zwischendurch zwei mal die richtung der ballon hat hier also so ein bisschen in der luft herum
0:53 du kannst die bewegung grafisch darstellen indem du auf eine x-achse die zeit und auf eine y achse dem zugehörigen weg ab trägst verbindest du
1:03 zeit und weg nun durch die bewegung selbst so erhältst du diesen grafen bei dem du hoffentlich auch das rumgeeiere des ballons wieder erkennst für jeden
1:14 zeitpunkt beispielsweise hierbei acht sekunden gibt ihr demnach die höhe des grafen den zurückgelegten weg an bezeichnen wir den grafen wie üblich in
1:24 der physik mit einem ass ich vermute jetzt mal du weißt bereits was die ableitung einer funktion ist und ich vermute ebenfalls du weißt welche
1:33 bedeutung der anstieg dieser tangente für den grafen 8 falls nicht eine kurze auffrischung für jeden zeitpunkt kannst du den tangenten anstieg als y wert
1:44 einer neuen funktion verwenden diese grüne funktion wird dann als momentane änderungsraten des weges bezeichnet was nichts anderes ist als die
1:53 geschwindigkeit des ballons in diesem punkt beispielsweise wenn der heißluftballon seine richtung das erste mal umgekehrt muss die geschwindigkeit
2:01 natürlich für einen kurzen zeitpunkt 0 sein danach ist die geschwindigkeit dann negativ und das bedeutet dass der ballon
2:09 seinem startpunkt wieder etwas näher kommt erklärt dann erneut noch einmal um und entfernt sich anschließend mit positiver geschwindigkeit das ist quasi
2:21 das grundkonzept der differential rechnung zu einer gegebenen funktion f der rechnet man die momentane änderungsraten oder die ab
2:30 leitungsfunktion er strich die integralrechnung krempelt diese fragestellung um sie fragt ob wir aus der abt leitungsfunktion die originale
2:40 funktion wieder herstellen können es ist also nicht verwunderlich dass das lateinische wort für wiederherstellen im namen des neuen themen gebietes
2:49 verborgen ist was du dann am ende des videos hoffentlich mitnimmst ist dass der wiederherstellungsprozess mit den unten gezeigten flächen zusammenhängt
2:58 mit anderen worten wenn wir in der lage sind die angedeutete fläche zu berechnen dann können wir genau sagen wie weit sich der ballon vom startpunkt entfernt
3:08 hat und an der stelle sollten bei dir jetzt aber direkt zwei fragen herum schwirren warum hängt diese fläche unter dem
3:16 grafen der geschwindigkeit mit dem weg zusammen und zweitens wie zum teufel soll man die fläche und der so einer krumm linien
3:23 kurve berechnen wie so häufig im leben wenn du keine ahnung von der materie hast probier's doch erstmal mit dem was du schon kennst betrachten wir also eine
3:33 vereinfachte bewegung der ballon bewegt sich jetzt zunächst für sechs sekunden mit einer konstanten geschwindigkeit von fünf metern pro sekunde nach rechts
3:41 kehrt uhr kürzlich um und fährt den gesamten weg mit einer etwas größeren geschwindigkeit innerhalb von vier sekunden zurück ziel ist es aus den
3:51 beiden zeiten und geschwindigkeiten den zurückgelegten weg zu ermitteln im zeit geschwindigkeit diagramm erkennst du dann sowohl die konstanten
4:01 geschwindigkeiten als auch die na ja zugegebenermaßen physikalisch unmögliche richtungsänderungen denn der ballon sich nun innerhalb einer sekunde um fünf
4:11 meter fort bewegen soll denn das ist was eine geschwindigkeit von fünf metern pro sekunde an gibt dann schafft er in sechs sekunden sicherlich
4:19 das sechsfache tatsächlich entspricht also bei diesem einfachen beispiel die fläche unter dem grafen dem zurückgelegten weg vollkommen analog
4:29 finden wir dann mit 7,5 metern pro sekunde mal vier sekunden den im zweiten abschnitt zurückgelegten weg heraus und ja es scheint es jetzt so als würde uns
4:40 die fläche unterhalb des grafen vorgaukeln dass der ballon insgesamt 60 meter fliegt und ich meine das ist in gewisser weise richtig in den ersten
4:49 sechs sekunden entfernt er sich um 30 meter vom startpunkt und in den nächsten vier sekunden fliegt er auch 30 meter halten nur zurück
4:56 in der integralrechnung beschreiben wir aber nicht die änderung einer größe in einzelnen abschnitten sondern die gesamtänderung der größe vom anfang bis
5:06 zum ende und da sich der ballon zum start und endpunkt an derselben stelle befindet sollte diese gesamtänderung des weges
5:13 genau null meter betragen daher sprechen wir in der integralrechnung von orientierten flechten die mit einem vorzeichen versehen werden müssen
5:23 und so kann es also passieren dass eine fläche die oberhalb der x-achse liegt und eine fläche die unterhalb der x-achse licht sich gegenseitig
5:32 auslöschen ok schön und gut bei konstanten funktionen kannst du mit hilfe dieser rechtecke den weg wieder herstellen aber
5:39 immer noch wie zum teufel soll das bitte bei chrome linien grafen funktionieren das klappt natürlich nur wenn wir die bewegung in einzelne abschnitte
5:50 unterteilen in denen die geschwindigkeit selbst konstant ist sagen wir die breite eines solchen abschnittes beträgt 0,5 und dann hast du vollkommen recht das
5:59 hat doch überhaupt nicht mehr mit der wirklichen bewegung zu tun im ersten abschnitt ist die geschwindigkeit jetzt 0 der belangen
6:07 bewegt sich also gar nicht mehr im zweiten abschnitt hat der ballon zwar eine geschwindigkeit die es aber stets kleiner als die der realen bewegung okay
6:17 im dritten abschnitt passte es war halbwegs gut aber in den letzten abschnitt ist der ballon mit einer größeren geschwindigkeit unterwegs
6:25 erst mal ziemlich unbefriedigend trotzdem hilft uns das hier diese rechtecke einzuzeichnen und erinnere dich bitte der flächen inhalt
6:35 eines solchen rechtecks gibt an ob und wie weit sich der ballon innerhalb der 0,5 sekunden von dem statuen weg bewegt hat und mit diesen zahlen bist du nun
6:45 wirklich in der lage den weg wieder herzustellen denn im prinzip muss nur diese flächen nur noch zusammen addieren heißt also
6:53 den weg den der ballon in einem der 05 sekunden abschnitte zurückliegt den weg musst du auf dem gesamten weg oben drauf packen den wenn der ballon bis dahin
7:05 geflogen ist flächen oberhalb der x-achse sorgen also dafür dass sich der bestand den wir wieder herstellen vergrößert flächen
7:16 unterhalb der x-achse genau andersherum durch ihre orientierte negative fläche wird die gesamte änderungen kleiner im kontext des beispiels wird dies deutlich
7:28 eine negative geschwindigkeit und damit eine negative fläche heißt dass sich der ballon wieder auf den startpunkt zubewegt für die bewegung des balance
7:38 zwischen sechs und zehn sekunden liegt jede einzelne fläche oberhalb der x-achse die gesamt änderung des weges lässt somit am ende immer weiter an
7:48 und ich kenne weiterhin zu dass dies immer noch nicht die reale bewegungen widerspiegelt dafür gibt es einfach noch zu viele große lücken zwischen unserem
7:58 rechtecken und der realen bewegung was aber wenn wir jeden einzelnen konstanten geschwindigkeit abschnitt schmaler machen und gleichzeitig bitte daran
8:10 denken dass mit vergrößerte anzahl an rechtecken die weg änderung in jedem kleinen teilabschnitten neu berechnet werden muss
8:17 würdest du mir nicht zustimmen wenn ich sage okay diese approximation sieht schon wesentlich besser aus also wiederholen wir das ganze noch einmal
8:26 und noch mal und noch mal mit jeder verkleinerung der breite einzelne rechtecke wird die gesamt änderung des weges schritt für schritt
8:37 an den tatsächlichen bewegungsablauf angenähert und im grenzwert prozess sogar fast perfekt wieder hergestellt also ja in der integralrechnung gibt es
8:48 tatsächlich zwei aspekte auf der einen seite wirst du in die flächenberechnung krumm linie grafen eintauchen was ehrlich gesagt ziemlich cool ist und
8:56 viele neue anwendungsgebiete eröffnet auf der anderen seite wirst du diese flächen inhalte mithilfe einem wiederhergestellten funktion ermitteln
9:06 müssen die wir später stamm funktionen werden fehlt eigentlich nur noch eine neue schreibweise woher diese kommt und
9:14 welche bedeutung sie hat das gucken wir uns gemeinsam im nächsten jahr für heute reicht ein kurzer ausblick was man mit dieser symbolik alles machen kann
9:23 zwischen einer zeit von 0 und 10 sekunden beträgt die gesamt änderung des weges zehn meter man kann das natürlich auch müssen
9:33 kindern zwischen null und sechs sekunden entgegen hat sich der ballon nur um 1,3 meter vom startpunkt entfernt er war zwischendurch vielleicht schon
9:43 mal weiter weg muss dann aber wieder irgendwann näher gekommen sein und sogar aussagen wie diese hier sind möglich in der zeit zwischen 2 und 9 sekunden hat
9:54 sich der ballon insgesamt um 5,2 meter entfernt im nächsten video gucken wir uns ein bisschen genauer die berechnung der
10:06 rechtecke an starten dort so wie heute auch mit ein paar wenigen rechtecken und werden dann daraus immer wieder mehr und mehr und mehr entstehen lassen das macht
10:16 seiner rechnung natürlich nicht einfacher dafür in der symbolik die am ende rauskommt aber umso schöner
10:24 [Musik]