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FLÄCHE zwischen zwei Graphen und x-Achse – Integralrechnung Flächenberechnung
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 99 Zeilen
- hallo und herzlich willkommen zu einem neuen Video indem ich euch heute zeigen möchte wie man den Flächeninhalt von dieser dunkelblauen Fläche berechnen
- kann wir bekommen in der Aufgabe folgendes gegeben und zwar die Funktionsgleichung von der Parabel von dieser roten Parabel hier das ist unsere
- Funktion f und die Gleichung der Geraden dieser blauen Geraden g die hier so von oben nach unten läuft und unsere Fläche wird von diesen ja eingegrenzt also hier
- ist die Grenze die Parabel hier die x-Achse und hier dann noch die gerade und es gibt jetzt verschiedene Möglichkeiten wie man dieses
- Flächenstück bekommen kann es geht hier auf jeden Fall um integrale denn mit integralen kann man ja Flächen unter Kurven
- berechnen wir können jetzt aber nicht einfach sagen hey guck mal ich berechne das Integral unter der Parabel von hier vorne bis hier hier
- hinten denn dann wäre das dieses ganze Stück und da wäre dieses Dreieck hier ja noch zu viel mit dabei das wollen wir in unserer dunkelblauen Fläche gar nicht
- dabei haben aber es ist ein Weg zu sagen okay ich berechne erstmal das Integral über diese ganze Parabel und dann ziehe ich am Schluss einfach noch dieses
- Dreieck ab dann habe ich ja den Flächeninhalt von meiner dunkelblauen Fläche und das ist unser Plan wir wollen jetzt als allererstes die Schnittpunkte
- berechnen dann die Fläche unter der Parabel berechnen und dann die Fläche von dem Dreieck wozu brauchen wir die Schnittpunkte na ja ich muss ja wissen
- von wo bis wo ich integrieren muss deswegen brauche ich auf jeden Fall diesen Schnittpunkt und auf jeden Fall auch den da hinten und für das Dreieck
- brauche ich dann tatsächlich auch noch diesen Schnittpunkt hier damit ich weiß wie lang hier unten die Seite des dreieckses also haben wir jetzt einiges
- vor diese Schnittpunkte zu berechnen ich werde das Video auch in Kapitel einteilen und falls ihr auf jeden Fall schon wisst wie das überhaupt geht dann
- springt einfach zum nächsten Kapitel ich möchte in Ruhe besprechen mit euch wie es geht aber falls es dem ein oder anderen zu langsam sein sollte dann
- springt einfach eins vor und guckt euch die weiteren Schritte an also also allererstes hier diesen Schnittpunkt hier vorne das wird mein erster
- Schnittpunkt das ist der Schnittpunkt von der Geraden mit der Parabel also wenn ich den berechnen will schnappe ich mir die parabelgleichung und setze die
- gleich der Geraden Gleichung denn dann kann ich diesen Schnittpunkt hier finden also das da gleich das da und das ist auch schon das was uns auf der nächsten
- Seite erwartet diese Gleichung müssen wir jetzt nach x auflösen okay es ist eine quadratische Gleichung das heißt es wäre gut wenn wir die mit der pq Formel
- lösen würden oder mit nachtsformel je nachdem was euch lieber ist dazu müsst aber alles auf eine Seite damit da gleich 0 steht also würden wir auf jeden
- Fall mal + X rechnen und auch -4 können wir ruhig in einem Schritt machen dann steht auf der rechten Seite auf jeden Fall schon mal gleich 0 was steht links
- die - 1/ x² können wir mit nix hier zusammenfassen aber hier geht's los 7/ X + 1x müssen wir zusammen rechnen die große Frage ist jetzt habt ihr einen
- Taschenrechner zur Verfügung oder nicht dürft ihr den benutzen schreibt mir gerne mal in die Kommentare wie das so geregelt ist bei euch die meisten dürfen
- nämlich in Klausuren keine Taschenrechner mehr benutzen deswegen gehe ich auch hier jetzt mal ganz ausführlich dran wie man es dann ohne
- Taschenrechner immer noch berechnen kann 7/be + 1 wäre als Nebenrechnung Brüche würden wir gerne zusammenrechnen deswegen machen wir aus
- der ein einen Bruch einel dann brauchen wir denselben Nenner also müssen wir den auf 2 bringen 1 x 2 ist 2 dasselbe müssen wir oben machen auch mal 2
- rechnen 1 x 2 2 und jetzt dürfen wir so zusammenrechnen 7 + 2 sind 9 und unten die 2 bleibt und das X nicht vergessen dann hätten wir hier hinten
- noch -3 -4 sind -7 das kann kann man schneller rechnen und rechts steht eine Null bevor wir die pq Formel jetzt anwenden dürfen müssen wir noch durch
- 1/b teilen damit vor dem x²r Nichts mehr steht ist auch nicht so angenehm zu rechnen durch einen Bruch deswegen würden wir mit dem Kehrwert
- multiplizieren also mal - 21 und ja z einel können wir auch noch einfacher schreiben indem wir einfach zwei ganze draus machen okay dann fällt
- die ein/b hier weg wenn wir damit multiplizieren und wird nur noch zu x² hier 9/ mal -2 wären auf jeden Fall schon mal
- negativ und die 2 kürzt sich mit der 2 weg und wir hätten nur 9x - 7* -2 sind + 14 = 0 mal das ist immer noch 0 okay jetzt aber ran an die
- pq Formel das hier ist jetzt das was auch hier steht unser P ist die Zahl bei dem X unser Q ist die Zahl die ine steht pq Formel X1 2 wäre - P Hal also
- minus wird zu plus 9 Hal +- Wurzel aus P Hal zum Quadrat also P ist mein -9 wird halbiert und hinten steht -q also die 14 halbe plus minus was kriegen wir unter
- der Wurzel raus ja dürfen wir halt wieder ran dieses Quadrat auflösen Quadrat wird positiv 9 zum Quadrat sind 81 2 zum Quadrat sind 4 die -14 noch
- dahinter müssen wir zusammenrechnen 14 machen wir mal ein Bruch draus sind 141el auch da wieder der Hauptnenner mit
- 4 multiplizieren wir z na 4 14 x 4 sind 56 und dann dürfen wir es abziehen 8- 56 sind 25 und die 4 bleibt unten also man hat hier echt einiges zu tun wenn man
- keinen Taschenrechner benutzen darf Wurzel ziehen Wurzel aus 25 ist 5 Wurzel aus 4 sind 2 und wir bekommen zwei Lösungen nämlich einmal 9 halbe + 5/be
- das sind 14 halbe also 7 und als zweite Lösung 9/- 5/ sind 4/ also z zwei Lösungen wofür was haben wir eigentlich noch mal ausgerechnet also 2 und 7
- bekommen wir wir haben die Schnittpunkte gesucht von der Geraden und der Parabel und haben jetzt 2 und 7 rausbekommen okay dann nehme ich mal hier die
- kleinere Zahl 2 denn die sieben ha da unten haben wir noch einen Schnittpunkt die gehört hier hinten hin interessiert uns aber gar nicht weil das viel zu weit
- weg ist von unser um Geschehen wir brauchen hier nur die zwei das ist jetzt aber nur die Schnittstelle also der x-Wert wir könnten mal noch den y Wert
- ausrechnen wo die sich hier wirklich schneiden denn wir brauchen ja auch die Höhe von unserem Dreieck dann später deswegen können wir das jetzt hier
- direkt schon mal machen den finden wir indem wir die zwei z.B in die gerade einsetzen dann wissen wir wo wir hier beim y wert sind also 2 hier rein dann
- hätten wir -2 + 4 das wären zwei und dann wissen wir okay von unserer Höhe sind wir hier auch bei 2 gut erster Schnittpunkt abgehakt aber wir haben ja
- noch zwei andere Schnittpunkte der hier der geht gott sei dank einfacher das ist ja nur die Nullstelle von der Geraden das heißt wir schnappen uns unsere
- Geradengleichung und setzen die gleich null das ist Gott sei Dank ganz easy da ist sie gleich 0 kriegen wir schnell aufgelöst indem wir + 4 + X rechnen denn
- dann steht das X auf der anderen Seite und hier hätten wir die 4 alleine x = 4 das war doch ganz angenehm haben wir direkt rausgefunden der letzte
- Schnittpunkt wie finden wir den das ist jetzt der Schnittpunkt von der Parabel mit der x-Achse also die Nullstellen von unserer Parabel die müssen wir jetzt
- noch suchen also schnappen wir uns unsere parabelgleichung und setzen die g=ich 0 um die Nullstellen zu finden pq Formel
- aber noch nicht denn hier ist ja noch das - 1/b vorne dran so wie eben auch würden wir jetzt mit -2 multiplizieren damit dieses - ein/b hier verschwindet 0
- mal -2 bleibt 0 hier hebt sich das got seinank raus und das X at steht alleine da 7/ mal -2 her das hatten wir doch sehr ähnlich schon da wird auf jeden
- Fall minus raus die 2 unten und die zwei heben sich raus und nur die sieben bleibt übrig und hier hätten wir -3 x -2 sind 6 okay noch mal pq Formel wir sind
- schon geschult darin das ist mein P das ist mein Q und wir hacken das jetzt mal da rein so
- minus Minus 7 Hal also + 7 Hal +- Wurzel aus hier kommt wieder mein PH halbe zum Quadrat rein also die -7/be zum Quadrat
- mein Q jetzt wird wieder schön gerechnet was hätten wir dann unter der Wurzel minus quadriert wird positiv 7 quadriert wird
- 49 2 quriert wird 4 die sechs das sind dann sechs eintel schon mal direkt wir werden schneller das ist gut wir erweitern mit vier also
- einmal 4 ist 4 6 x 4 wären 24 wir ziehen ab und landen bei 25 vi4el schon wieder das ist okay können wir dann ah die Wurzel noch
- ziehen ja bevor wir alles im Kopf machen sollten wir vielleicht den Zwischenschritt noch hinschreiben Wurzel gezogen werden fün halbe dann bekommen
- wir wieder zwei Lösungen einmal 7/be + 5/be das wärden 12 halbe also 6 und einmal 7/ - 5/ 2we/be also 1 1 und 6 sind was wir haben die Nullstellen von
- unserer Parabel gesucht und haben 1 und se gefunden hier die vorne interessiert uns nicht aber hier hinten die brauchen wir so erster Schritt erledigt wir haben
- alle Schnittpunkte berechnet worum geht's jetzt wir wollten ja die Fläche unter unserer Parabel berechnen und das werden wir jetzt auch tun denn wir haben
- ja jetzt die Grenzen gefunden wir werden jetzt von hier von der 2 bis zur 6 unter unserer Parabel integrieren und werden dadurch
- hier diese ganze Fläche bekommen wir haben unsere parabelgleichung die schnappen wir uns also und integrieren von 2 bis 6 das
- sind unsere Grenzen und dann wenn wir vorne ein Integral aufmachen müssen wir es hinten dann noch mal mit einem DX abschließen so dieses Integral würden
- wir jetzt gleich berechnen das ist dann diese große Fläche unter der Parabel bis hier vorne zur 2 mit diesem Teil halt auch noch mit drin okay
- ans Werk mit unserem integral wir brauchen die Stammfunktion von dieser Funktion hier drin um das Integral zu lösen bedeutet
- wir schreiben das jetzt in eckige Klammern die Grenzen bleiben außen die 2 und die 6 und wir integrieren mit den Regeln die wir kennen bedeutet hier bei
- dem ersten Teil die Hochzahl wird eins größer also aus x hoch 2 wird ein x hoch 3 vorne dran kommt ein Bruch in den Nenner kommt schon die neue Hochzahl
- rein die wir gerade gefunden haben und in den Zähler kommt die Zahl die vorher vorne dran stand die - 1/b ist jetzt nicht so schick so ein doppelbruch aber
- den lösen wir dann gleich auf okay nächster Teil genau dieselbe Regel x hoch 1 stand hier wir machen ein X hoch 2 draus vorne dran kommt ein Bruch die
- neue Hochzahl können wir schon unten hinschreiben in den Zähler kommt die Zahl die vorher oben stand also die 7 halbe und hier das ist jetzt so ein
- kleiner Spezialfall da ist ja gar kein X da dann bedeutet das beim Integrieren muss dann da ein X dran gehängt werden denn ihr könnt kontrollieren ob ihr es
- richtig gemacht habt indem ihr jetzt noch mal die Ableitung macht und euch über wenn ich das hier ableite komme ich dann hier raus und ja das ist ja so beim
- Ableiten würde das X einfach wegfallen und ihr würdet bei einer -3 landen also so kann man dann kurz mal noch schauen ob man es richtig gemacht hat jetzt
- lösen wir die doppelbrüche aber mal auf weil die sind ja echt nicht schön - 1/ durch 3 okay machen wir eine Nebenrechnung durch 3 einel können wir
- schon mal schreiben statt durch einen Bruch rechnen mal den Kehrwert also mal ein dritt und dann haben wir das Ergebnis
- schon - 16 hätten wir hier vorne x hoch 3 dann 7 Hal durch 2 wir sind jetzt schon ein bisschen geübter 7 halbe nicht durch 2we
- einel sondern mal ein/b dann werden wir bei 7 vi x² und hier hinten ist die Welt Gott sei Dank ganz schön so für die Zukunft könnt ihr
- euch bei solchen Sachen hier eigentlich merken dass man hier war ja ein halb vorher wenn man den mit also durch dre teilt dann wird
- einfach nur der Nenner mit 3 multipliziert also die 2 mal 3 sind die 6 und genauso hier die 2 mal die 2 sind die 4 also da ändert sich nur der Nenner
- aber gut so kann man es ja auch machen wie wir es gerade gemacht haben jetzt werden die Grenzen eingesetzt da steht jetzt wieder unsere Stammfunktion
- Grenzen einsetzen bedeutet als allererstes wird die obere Grenze eingesetzt also für jedes x was hier vorkommt wird die 6 eingesetzt dann
- hätten wir da - 1/6 x 6 hoch 3 dann 7/4 x 6 hoch 2 und da hinten auch noch die 6 rein das war die obere Grenze dann kommt ja immer ein Minus und am
- besten macht dann schön eine Klammer denn jetzt wird das ganze noch mit der zwe eingesetzt aber dass man da keine Vorzeichenfehler macht deswegen schön in
- der Klammer drumrum die zwei einsetzen für jedes x was ihr finden könnt so das überlasse ich jetzt euch da gehe ich jetzt nicht Schritt für Schritt durch
- wie man das jetzt so schön im Kopf rechnet macht's mal falls ihr Fragen habt meldet euch gerne in den Kommentaren ich gebe euch das Ergebnis
- da müsste 28 Drittel rauskommen ich bin gespannt ob ich es hing beekommt wir rechnen damit weiter was haben wir da jetzt überhaupt berechnet wir wollten
- genau diese Fläche unter der Parabel berechnen und haben jetzt rausgefunden dass diese Fläche die nenne ich jetzt mal A1 28 dritt groß ist da wir hier
- keine Einheiten gegeben haben schreibt man dann gerne auch FE für Flächeneinheiten hinten dran so das Stück hätten wir dann schon mal
- dann fehlt uns eigentlich nur noch dieses Stückchen dass wir da gerne wieder abziehen würden haben wir ja gesagt das war zu viel für unsere
- dunkelblaue Fläche brauchen wir nur das Stück und das wird jetzt auch der letzte Schritt werden die Fläche von dem Dreieck berechnen das kriegen wir aber
- auch ohne integrale hin falls ihr aber irgendwie schwierigere Funktionen hättet dann müsstet ihr einfach noch mal das Integral jetzt unter eurer Funktion
- berechnen bei dem Dreieck sparen wir uns das Integral und berechnen diese Fläche die wir mal A2 nennen mit der Formel die wir kennen ein/alb mal die Grundseite
- mal die Höhe also was ist das bei uns die Grundseite wäre hier unten von 2 bis 4 also 2 und die Höhe wäre hier bis zur 2 hoch und damit hätten wir vi halbe
- also 2 insgesamt Flächeneinheiten schön hinten dran und dann können wir die Fläche die gesucht war ausrechnen denn das war ja dieses Stück hier nur das
- wäre die große parabelfläche also die 28/3 dieses kleine Dreieck was 2 war eine letzte Rechnung eine letzte
- Bruchrechnung 2 schreiben wir als 2 einel dann müssen wir auf D kommen indem wir mal 3 rechnen auch oben 2 x 3 wären 6 und gleich haben wir es 28- 6 S 22
- Drittel und dann noch Flächeneinheiten hinten dran und wir sind fertig dann hoffe ich dass es ein schöner Einblick für euch war da kam ja schon einiges
- dran und wünsche euch noch einen schönen Tag macht's gut bis zum nächsten Video
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