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FLÄCHE zwischen 2 Funktionen berechnen – 3 Schnittpunkte Flächenberechnung Integral
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 110 Zeilen
- alle lieben heute möchte ich eine ganz klassische aufgabe aus integralrechnung mit euch durchgehend die folgendermaßen lautet berechnet den inhalt der fläche
- der durch die folgenden zwei kurven begrenzt wird wir bekommen die funktionär von ex und auch eine zweite funktion ge von iks und die schneiden
- sich scheinbar oder begrenzen irgendwelche flächen stücke deren inhalt wir jetzt berechnen sollen bevor wir eine berechnung gehen schauen wir uns
- mal kurz anschaulich an worum es da überhaupt geht also wenn wir uns unsere funktionär von iks und gehe von iks einfach mal zeichnen lassen dann sehen
- wir hier schön dass hier so ein bereich entsteht den diese beiden funktionen hier so einschließen und auch hier entsteht so ein flächen stück und den
- flächen inhalt von diesen beiden einzelnen flächen sollen wir eben berechnen und zusammenrechnen und das wäre dann die gesamtfläche die hier
- eingeschlossen wird das schöne ist man kann es in einer schönen liste abarbeiten wenn man den flächen inhalt zwischen zwei kurven berechnen möchte
- als allererstes brauchen wir mal die schnittstellen denn wenn man sich das kurz nochmal anschaut sehen wir hier schön die flächen stücke staaten ja hier
- wo sich die funktion schneiden und das erste flächen stück endet hier wo sie sich auch wieder schneiden das ist auch der anfang von dem zweiten flächen stück
- und da wo sie sich dann noch mal schneiden ist das ende das heißt diese stellen sind auf jeden fall wichtig und liebe rechnen wird im ersten schritt wir
- schnappen uns also unsere beiden funktionen und um die schnittstellen zu berechnen müssen wir diese funktionen einfach gleich setzen also die eine
- funktion gleich der anderen funktionen diese gleichung müssen wir jetzt lösen daher x3 vorkommt werden wir am besten mal alles auf eine seite bringen also
- hier - 9x und auch -20 rechnen alles in einem schritt dann hätten wir österreich hier stehen die exakte zusammenrechnen - 12x 9x wären -
- 21 ticks und dann noch die -20 und auf der rechten seite dann nur noch 0 diese gleichung haben wir schon festgestellt ist hier nix hoch drei das heißt es wird
- wahrscheinlich auf eine polin die vision hinauslaufen denn wir könnten den polinnen division nur umgehen wenn in jeden teil hirai nix
- drin wäre so dass man einiges ausklammern könnte aber wir haben kein glück diesmal hätte deswegen müssen wir den polen um die vision starten das
- bedeutet wir suchen jetzt im grunde die null stellen von dieser neuen funktion also immer wenn da steht dass da gleich null dann suchen wir jetzt gerade im
- grunde 0 stellen von der funktion grundsätzlich suchen wir die schnittstellen von diesen beiden funktionen aber das haben wir jetzt zu
- einem neuen problem sozusagen ungefroren wenn wir die null stellen von der funktion finden dann sind es automatisch die schnittstellen von diesen beiden
- funktionen okay so viel übersicht wie finden wir jetzt die nun stellen von dieser funktion hier polen um die vision sagt ratet erstmal die
- erste stelle okay das geht natürlich immer nur wenn das aufgaben sind die auch für eine klausur gedacht sind wenn das jetzt irgendwelche willkürlichen
- aufgaben werden und da kommen keine schönen zahlen raus dann klappt es mit dem rad natürlich nicht so wir raten eine erste 0 stelle was hätten wir wir
- starten am besten bei 1 sätzen 1 1 hoch drei werden 1 - 21 mal eins wären - 21 und die -20 noch hinten dran kommt da nur raus wenn man es zusammen rechnet nö
- dh die eins ist schon mal keine neue stelle dann gehen wir weiter und testen die - 1 - 1 hoch drei wehren - 1 - 21 mal minus 1 während +21 und die -20 nach
- hinten dran das sieht gut aus da kommt null raus das heißt dass die -1 hier eine lösung von dieser gleichung ist und mit der können wir die polin um die
- vision durchführen denn bei der grünen um die vision geht es ja darum dass wir jetzt einen linear faktor abspalten von diesem teil hier das heißt dem schreiben
- einfach so hin dieses x3 teil und das wird jetzt eben komplett einmal geteilt durch iks steht hier immer - die null stelle
- die wir gefunden haben also ins minus - einst das wäre plus 1 und das müssen wir jetzt eben berechnen falls ihr von der polin um die vision noch nie was gehört
- haben solltet dann schaut euch lieber ein video an wo ich das ganz in ruhe erklären wir gehen natürlich jetzt trotzdem zusammen hier einmal durch aber
- das ist dann doch den einstieg relativ schwieriges beispiel denn hier ist es jetzt so das x3 vorkommt und der nächste teil der vorkommt ist schon x1 also das
- x2 stück fehlt im grunde und da würde ich euch tatsächlich vorschlagen damit ihr den überblick besser behaltet lass dich hier ein bisschen platz und
- schreibt einfach wenn kein x2 vorkommt 0 x iks hoch zwei hier ein dass ihr die struktur hat xo 3 x2 fix und kai nix dann könnt ihr nämlich besser jetzt
- gleich vorgehen ich suchte reihe teilen wir jetzt durch xo 3 durch extreme das ergebnis hin während x2 dann wird zurück x 2 x iks wäre nix hoch drei das
- schreiben wir hierhin und auch ex hoch 2 x 1 wären ein ex hoch zwei das schreibe hier in und schön sehen wir jetzt jetzt ständig drei untereinander die x2
- untereinander und hier kommt noch nix hin dass sie mir von dem da oben ab so wie bei der schriftlichen division und müssen uns berechneten ex 3 - exakt
- drei sind 040 von dem ex quadraten -1 davon wären eben - einig quadrat und hier von dem rest ziehen wir ja gar
- nichts ab das können wir einfach dann hinten dran schreiben und jetzt startet das ganze von 9 - ecs quadrat durch
- xxx wären - ecs dann wird zurück multipliziert - x-mal x6 quadrats und - x-mal 1 während ex das ziehen wir von dem da oben wieder ab - ecs quadrat - -
- ich verrate also - exponat +6 quadrat sind null weg minus 21 minus - also - 21 plus einig wären - 20 von nixon und hinten die -20 da passiert ja nichts
- schreiben also hin ein letztes mal wird geteilt - 20x durch iks wären - 20 das notieren wir hier und es wird zurück multipliziert - 20 x iks sind minus 20
- und minus 20 mal 1 sind - 20 das schöne ist wenn da genau das steht was da um steht dann wenn wir das abziehen kommt einfach nur raus wir sind fertig mit
- unserer division haben einen linear faktor abgespalten der rest der hier übrig bleibt von dem teil müssen wir jetzt weitere 0 stellen suchen eine neue
- stelle haben wir schon gefunden es war die -1 die märkte uns natürlich aber von denen können eben noch mehr drin stecken und deswegen setzen wir das auch wieder
- gleich null und suchen weitere 0 stellen diese quadratische gleichungen mittlerweile kann man jetzt mit pico formel abc formel oder auch dem satz von
- vital lösen ich mag es hier mit der abc formel da ist es ja so dass wir eben a b und c brauchen was wäre das hier das ist die zahl vor dem ixs quadrat also hier
- im 1 das b ist die zahl vor dem ixs also eine - 1 und sc ist die zahl hier hinten alleine steht die - 20 dann schreiben wir die formel mal auf wir finden
- vielleicht zwei lösung indem wir - b plusminus wurzel aus b quadrat - viermal als sie durch zwei rechnen alles rein in die formel
- - b also - b ist - 13 erstmals ein plus wurzel aus b quadrat also die -1 zum quadrat - viermal damals crm 4 x 1 x - 20 und dann hätten wir unten zweimal
- also zweimal 1 und 2 rechnen weil es außer - minus eins und plus 1 am plus - was haben wir unter der wurzel stehen - einst zum quadrat ist 1 hier hätten wir
- - viermal - 20 während +80 also 81 hätten wir hier stehen die wurzel können wir gott sei dank schön ziehen das wären 9 und unten hätte man nun die zwei
- stehen das bedeutet wir finden zwei lösungen die erste lösung indem wir eins plus 9 rechnen das wären 10 und dann noch durch zwei teilen 10 durch zwei
- wären fünf und die zweite lösung 1 - 9 während -8 und auch das müssen wir noch durch zwei teilen des wären - 4 und das wäre
- unsere zweite lösung wäre natürlich genauso gegangen oder bekommt man dann brüche also wenn ihr die abc formel einfach immer mal auch
- auf dem schirm habt dann könnt ihr immer das anwenden was gerade besser passt auf jeden fall haben wir weitere 0 stellen gefunden von unserer funktion erinnern
- uns aber dran was wir eigentlich brechen wollten aber das sammeln immer man gerade es ging um die schnittstellen wir haben gesagt wenn wir all das lösen
- finden wir die schnittstellen von unseren beiden funktionen und sie wären jetzt hier bei -4 hiervon derigs koordinate bei
- -1 und bei 5 da sind unsere schnittstellen und die brauchen wir jetzt denn das war der erste schritt im zweiten schritt stellen jetzt unsere
- integrale auf also jetzt kommt der eigentlich so das herzstück von dem ganzen wir wollen ja flächen berechnen und integrale helfen uns dabei flächen
- zu und zwar das erste integraler so nennen wir die fläche hier im a1 und die hier a21
- können wir berechnen indem wir das integral aufstellen von meiner ersten schnittstelle also von -4 bis zur - 1 läuft diese erste fläche und jetzt damit
- ich dieses flächen stück zwischen diesen beiden funktionen finde muss ich einfach immer die eine - die andere rechnen also immer merkt euch einfach immer f von xp
- von xs ist egal wie ihr die abzieht wenn er bedenkt dass ihr von dem was sie hier berechnet am schluss einfach noch den betrag nehmt also ob ihr es von xfx
- rechnet oder umgekehrt ändert nur am vorzeichen was von dem ganzen hier also wenn ihr so macht kann es sein dass da -5 rauskommt und wenn ihr das ganze rum
- gedreht hätte dann wäre fünf rausgekommen jetzt nur das beispiel wir sehen gleich was da rauskommt das heißt nur vom vorzeichen ist es egal wenn wir
- also den betrag nehmen von dem was wir hier berechnen wollen dann ist es völlig egal die rattles dreht weil der betrag am schluss noch mal sagt schmeißt es
- vorzeichen weg fast 1 ist ich will nur was positives haben also sagen würde insgesamt sowieso nur fünf rauskommen also von daher macht euch nicht so einen
- kopf wie romy hier die funktion voneinander abschied macht einfach immer er von mtv nick und nimmt dann den betrag falls ja was negatives rauskommen
- sollte okay das wäre das erste flächen stück und das zweite flächen stück auch da nehmen wir dann letztendlich den betrag das integral läuft dann von hier
- also von der -1 bis zu fünf hier hinten und auch da nehmen wir einfach von xfx macht euch da nicht so viele gedanken und den betrag dann natürlich den darf
- man nicht vergessen also negative flächen kommen da nicht in frage alles immer positiv wenn es um flächen geht ok und damit das wäre der zweite schritt
- jetzt müssen wir die integrale natürlich auch noch berechnen die wir gerade aufgestellt haben dass er der letzte schritt das wäre meine erste fläche die
- ich berechnen möchte haben wir gerade eben gesehen wir setzen ein betrag striche vergisst man immer super kerne deswegen immer mehr darauf achten wir
- haben schon die grenzen eingesetzt elf von iks ist diese funktion hier vorne also xo 3 -12 6 und davon wollen wir jetzt geh von iks abziehen das heißt wir
- müssen hier schöne klammer darum machen wir das alles abgezogen werden also - diese 9x plus 20 und hinten dran kommt s dx und der betrag strich das sollten wir
- jetzt bevor wir's integrieren erstmal ein bisschen verschönern was würde da dann stehen xo 3 auf jeden fall
- - 12x wenn wir die klammer hier auflösen stehen hier auch - 9x also das wären dann - 21 xl hat euch vielleicht an irgendwas was wir heute schon hatten als
- ihr die schnittstellen berechnet hatten haben wir auch hier genau den teil bekommt und auch hier haben wir jetzt die klammer noch auflösen hätten wir -
- 20 also das wiederholt sich im grunde wenn ihr die schnittstellen wenn ihr da alles auf eine seite bringt ist es genau das was wir heute schon hatten gut das
- müssen wir jetzt nur noch integrieren es steht jetzt noch mal hier das heißt wir wollen jetzt die stamm funktion bilden dann machen wir ja eckige klammern seht
- ihr dass ich jetzt schon die betrag striche vergessen hätte denkt immer dran ich bin auch super schlechteren ich mache die dann immer ganz zum schluss
- noch mal wenn ich merke dass das negative ausgekommen ist eckigen klammern es wird integriert also wir suchen die stamm funktion von x3
- funktioniert ja so dass die hoch-zeit 1 größer gemacht wird also ich sofort raus und dann vorne dran kommt ein bruch der diese zahl auch noch meine männer hat
- und oben steht die zahl die vorher vorne dran stand da stand einmalig so 3 also kommt eine einzel genauso hier aus 21 ticks machen wir auf jeden fall mal ich
- so 2 also die hoch zahl 1 größer machen daran kommt ein bruch der diese zwei männer hat und im zähler steht die zahl die vorher vorne dran stand die 21
- und da hinten wenn da gar kein ex war dann hängen wir einfach beim integrieren 1 dran aus 20 wird 20x die eckige klammer zu die grenzen müssen dran minus
- 4 und minus 1 und der betrag noch mal zu jetzt werden die grenzen eingesetzt und das ist immer so eine eklige
- angelegenheit die obere grenze zuerst also für jede six was wir hier haben setzen wir - 1 1 dann steht da ein viertel mal - einst hoch 4 wenn ihr das
- schon ein bisschen ausrechnen könnte dann macht es auf jeden fall also das ist einfach nur eins raus kommt aber ich schreibe jetzt einfach mal hin so
- ausführlich für euch dann hätten wir hier für das nächste iks auch die hier kommt die - einst rein also - einst hoch 2 - 20 mal und auch hier für das setzen
- wir - 1 1 das wäre der erste teil mit der oberen grenze dann kommt immer ein - und dann müssen wir genau dasselbe noch mit der unteren grenze machen durch
- dieses minus macht hier schöne klammer denn all das was jetzt kommt muss eben von diesem - beeinflusst werden also ein viertel mal und für das ixs packen wir
- hier jetzt also die -4 rhein hoch vier dann -21 halbe mal auch da - 4 1 und quartieren und auch am schluss bei dem
- mix noch die - 41 betrags strich zu und jetzt muss das ganze ding ausgerechnet werden also den taschenrechner 1 guckt da wir hier schön
- die klammer bei dem - habt ihr könnt auch so machen dass sie vielleicht zuerst den vorderen teil ein tipp das minus bleibt und ihr tipp den hinteren
- teil ein und dann zieht er die erst voneinander ab auf jeden fall kommt man scheinbar wenn man sie sind wahrscheinlich ein tipp auf 135 viertel
- als exaktes ergebnis das ist positiv das heißt die betrag striche können wir einfach weglassen und man kann das auch noch als komma zahl
- angeben damit eine ungefähre vorstellung davon hat was das hier überhaupt wert sein soll 33,75 da wir gerade eine fläche
- berechnet haben können wir dann auch flächen einheiten hintendran schreiben genau das wäre unsere erste fläche gewesen
- 33,75 können wir uns schon mal merken und dann fehlt jetzt nur noch die zweite fläche die aber genauso funktioniert und sogar antiken schneller denn was ändert
- sich eigentlich nur dass es von xfx bleibt also das hatten wir schon das können wir schon benutzen das müssen wir nicht noch mal herleiten von xfx war
- dieser ex hoch 3 -21 x20 teil den wir jetzt schon kennen und das coole ist dass ich dann natürlich auch die stamm funktion nicht ändert also auch die
- funktioniert genauso wie eben die könnt ihr einfach benutzen also hier geht um einiges schneller beim zweiten die stamm punktion von eben habe ich jetzt noch
- mal hierhin geschrieben die grenzen ändern sich aber da müsste schon aufpassen dass man hier jetzt die fünf dabei hat die -1 wiederholt sich auch
- also falls ihr euch den wert gemerkt habt wenn ihr -1 1 setzt auch das könnt ihr dann hier benutzen ansonsten aber genauso einsetzen wie
- eben zuerst die fünf für jede six dann - und dann die -1 für jede six ausrechnen und dann kommt man diesmal auf einen wert von minus
- 216 und da wir die betrags strich jetzt wichtig denn wir wollen bei flächen keine negativen flächen betrag strich sagen lasst es - weg da kommt einfach
- nur 216 flächen einheiten raus das wäre der wert unserer zweiten fläche und 216 und jetzt um die gesamtfläche auszurechnen müssen wir die beiden nur
- noch zusammen rechnen also gesamt wäre dann die beiden zusammen wären 249 ich komme 75 flächen einheiten also einiges drin in der aufgabe ich hoffe es
- war so ein rundumschlag um alles möglich es ist trotzdem alles klar geworden aber falls ihr fragen habt dann schreibt sie gerne in die kommentare
- euch einen wunderschönen tag und bis zum nächsten mal macht's gut
Zum Nachlesen
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