32 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung - Telekolleg Mathematik
kdrzgml
https://www.youtube.com/watch?v=OFPLJFLOT_M

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 [Musik] guten Tag liebe Zuschauer sie sehen wir haben heute noch einmal das
0:35 strömungsmodell aus der letzten Sendung aufgebaut es führt uns heute zu einem der wichtigsten Sätze der Analysis nämlich dem Hauptsatz der Differential
0:43 und Integralrechnung erinnern wir uns an die letzte Sendung dort hatten wir mit Hilfe dieses Messgerätes hier die strömungsstärke
0:52 gemessen und daraus das Volumen eines Wasserbehälters zu einem beliebigen Zeitpunkt bestimmt wir wollen heute einmal die
1:01 Fragestellung umkehren und dazu gehen wir davon aus dass wir kein Messgerät hier besitzen bzw das ist defekt ist
1:12 stattdessen können wir aber das Volumen in diesem Wasserbecken hier gut bestimmen
1:20 und wir fragen jetzt einmal wie kann man mit Hilfe solcher volumenmessungen auf die strömungsstärke hier in diesem Leitungssystem schließen die umgekehrte
1:30 Fragestellung fassen wir die Problemstellung noch einmal genauer es ging in der letzten Folge darum dass wir ausgingen von der
1:38 strömungstärke und dann das Wasservolumen bestimmten das heißt wir gingen aus von einer Funktion kleinen FX und bestimmten groß
1:50 F0 von X sie erinnern sich und die mathematische Operation die uns dazu geführt hat von diesem kleinen FX zu diesem groß F0 von X war wie Sie
2:01 wissen das integrieren heute wie gesagt die umgekehrte Fragestellung wir gehen aus von einem
2:16 gegebenen Wasservolumen und suchen die strömungsstärke das heißt wir gehen von diesem groß F0 von X aus
2:27 und wollen dieses kleine FX wissen die strömungsstärke und wir fragen welche mathematische Operation führt uns hier zurück
2:45 und darum geht es in dieser Sendung und bevor wir uns jetzt im einzelnen mit diesen Sachverhalten beschäftigen zunächst ein Versuch der uns in diese
2:54 Problematik einführen wird bringen wir zunächst einmal den Versuch in die Ausgangssituation
3:05 und wir nehmen an dass bei dem folgenden punktvorgang die strömungsstärke konstant sein und um sie zu bestimmen messen wir einmal zu zwei verschiedenen
3:14 Zeitpunkten sagen wir nach 10 Sekunden und nach 30 Sekunden die hier in diesem Behälter eingeschlossene Wassermenge
3:27 Achtung los wir lesen ab nach 10 Sekunden
3:39 jetzt und haben 0,23 Liter und dann lesen wir wieder ab bei 30 Sekunden
3:57 Achtung doch und wir haben
4:04 0,68 Liter und die beiden Volumina die wir jetzt gemessen hatten zu den Zeitpunkten 10 Sekunden und 30 Sekunden die tragen wir
4:14 jetzt einmal in eine Tabelle ein also zum Zeitpunkt 10 Sekunden hatten wir die Wassermenge 0,23 Liter
4:24 und zum Zeitpunkt 30 Sekunden betrug die Wassermenge 0,68 Liter um die strömungsstärke zu bestimmen
4:33 bildet man die Differenz das heißt die zugeflossene Wassermenge in Delta x Sekunden bei uns in 20 Sekunden ist die Differenz der beiden Zahlen
4:47 also 0,45 Liter so viel in 20 Sekunden dividiert man nun durch die Zeit Delta x das heißt durch 20 Sekunden so erhält
5:00 man die strömungsstärke in Liter pro Sekunde also 0,45 durch 20 das ergibt
5:09 0,022 Liter pro Sekunde und wie solch eine Rechnung ganz allgemein aussieht das zeigt uns
5:22 grafisch dargestellt der folgende kleine Trickfilm hier das Koordinatensystem und wir tragen wie schon bekannt auf der
5:31 x-Achse die Zeit ab und auf der Y-Achse die strömungsstärke die strömungsstärke ist konstant aber unbekannt
5:43 die Fläche unter dem Graphen gibt ein Maß für das Volumen des Wassers an halt dieses Volumen hier haben wir zum
5:55 Zeitpunkt x0 gemessen jetzt weiter Stopp und die gesamte blaue Fläche stellt das Volumen zur Zeit x0 plus
6:08 Delta x da die Differenz ist nun die Wassermenge die in der Zeit Delta x zugeflossen ist
6:19 sie wird durch dieses Rechteck dargestellt weil dies ein Rechteck ist mit bekanntem Flächeninhalt kann man nun die Breite
6:31 ausrechnen dazu muss man den Flächeninhalt durch die Länge Delta x dividieren und bekommt so die Breite des Rechtecks
6:45 nämlich fx0 und das ist die gesuchte strömungsstärke was haben wir gemacht fassen wir zusammen
6:59 wir bestimmten zum Zeitpunkt x0 das Volumen nämlich F0 von x0 und ebenso bestimmten wir das Volumen
7:10 zum Zeitpunkt x0 plus Delta x danach bildeten wir die Differenz
7:27 und dividierten schließlich durch Delta x unterhalten somit diesen Ausdruck und ihn wollen wir uns jetzt einmal genauer
7:44 anschauen er kommt Ihnen sicher bekannt vor und zwar aus der Differentialrechnung
7:56 im nächsten Beispiel wird das noch deutlicher zunächst wieder die Ausgangssituation
8:11 und wir nehmen für den folgenden Versuch an dass die strömungsstärke nicht mehr konstant ist
8:43 bis hierhin der Verlauf des Graphen könnte hier etwas so aussehen hier das Koordinatensystem die strömungsstärke nimmt zunächst zu
8:54 dann wieder ab wir wollen wissen wie groß sie zu einem Zeitpunkt x0 ist und das herauszufinden verfahren wir wie im Fall konstanter
9:04 strömungsstärke wir bestimmen zunächst das Volumen zu einem Zeitpunkt x0 und dann bestimmen wir es zu einem Zeitpunkt x0 plus Delta x
9:18 die Volumen Differenz wird durch diese Fläche hier dargestellt und gesucht ist diese Seite der Fläche
9:30 man kann jetzt nicht mehr einfach durch die Länge Delta x dividieren denn die Fläche ist ja kein Rechteck mehr um ein Rechteck zu erhalten müssten
9:41 wir so tun als ob in der Zeit Delta x die strömungsstärke konstant wäre dann würde das Bild hier so aussehen
9:54 wir machen allerdings einen deutlich erkennbaren Fehler wenn wir für die Volumenänderung die Rechteckfläche nehmen
10:04 statt der tatsächlichen nämlich dieser krumlinie nicht begrenzten Fläche und zwar ist der Fehler dieses Stück hier
10:19 aber man kann den Fehler immer kleiner machen wenn man nur Delta x hinreichend klein macht
10:38 und bei hinreichend kleinem Delta x darf man dann die tatsächliche Fläche durch die rechtecksfläche ersetzen und aus dem Rechteck erhält man durch
10:49 die Vision durch Delta x die andere Seite nämlich den Funktionswert
10:58 von x0 das heißt die augenblickliche strömungsstärke zum Zeitpunkt x0
11:08 das heißt wir können jetzt genauso rechnen wie in unserem Beispiel vorhin wir bilden diese Differenz hier und dividieren durch Delta x
11:19 müssen allerdings jetzt noch ergänzen und zwar durch Delta x klein machen das heißt mathematisch exakt wir bilden den Grenzwert für Delta x gegen Null
11:36 unterhalten schließlich den Funktionswert klein f an der Stelle x0
11:45 schauen wir uns das hier unten einmal genau an wir haben hier den Limes für Delta x gegen 0 von einem Differenzenquotienten und zwar
11:53 Differenzenquotienten gebildet mit unserer Funktion groß f und wenn wir den Limes von einem Differenzenquotienten bilden bekommen
12:02 wir den Differentialquotienten oder einfache gesprochen die Ableitung das heißt wenn wir unsere Funktion groß F4 ableiten also Limes Delta x gegen
12:15 Null bilden erhalten wir klein f an der Stelle x0 und kehren wir jetzt einmal zu der Ausgangsstellung unserer Sendung zurück
12:34 ihr fragten nach der mathematischen Operation die uns von diesem groß F0 von X zu kleinen FX führt und wir haben eben erkannt
12:45 wenn man die Funktion groß F ableitet also differenziert erhält man dieses klein f wir können das hier also jetzt ersetzen
13:03 durch differenzieren und aus dieser Grafik erkennen Sie jetzt einen außerordentlich überraschenden und sehr wichtigen Zusammenhang
13:12 das differenzieren ist die Umkehrung des integrierens oder anders ausgedrückt das Integrieren
13:24 ist die Umkehrung des differenzierens und diese Sachverhalt bildet den wichtigen Kern des Hauptsatzes der Differential und Integralrechnung
13:37 man muss natürlich einen so wichtigen Satz in der Mathematik beweisen und bevor wir uns überhaupt einmal an eine Beweis Idee heranwagen muss vorher noch
13:45 genauer geklärt werden was dieser Sachverhalt eigentlich bedeutet dass differenzieren ist die Umkehrung des integrierens schauen wir uns das an der
13:54 folgenden Grafik an nun gegeben ist eine randfunktion klein f dazu betrachtet man die Integralfunktion groß FA bezüglich einer festen unteren
14:08 Grenze a der Funktionswert an einer beliebigen Stelle x
14:16 wir schreiben dafür groß FA von x ist zahlenmäßig so groß wie die Fläche zwischen a und x unter dem Graphen der randfunktion klein f
14:31 der Hauptsitz sagt nun groß FA ist eine differenzierbare Funktion
14:42 und es gilt die Ableitung von Groß Fa ist klein f
14:59 also groß FA Strich gleich klein s den genauen Wortlaut des Hauptsatzes sowie den Beweis finden Sie in Ihrem Begleitmaterial
15:09 machen wir uns das Wesentliche des Hauptsatzes an bekannten Beispielen bewusst bei dem Messvorgang mit der
15:17 Schraubenfeder war klein f die Kraft und groß F0 von X die Arbeit die aufgewendet werden musste um die Feder aus der Nulllage auf die Länge x zu
15:30 denen die Kraft genügte dem Gesetz von X = x die Arbeit ergab sich zu groß F0 von X gleich einhalb x Quadrat
15:45 differenziert man die Funktion groß F0 also einhalb x Quadrat nach bekannten Regeln so ergibt sich groß f0-
15:59 gleich x gleich klein FX
16:09 also die kraftfunktion klein f oder dieses Beispiel es sollte der Flächeninhalt unterhalb
16:22 des gekrümmten Teils der Eisenbahnlinie bestimmt werden die Eisenbahnlinie verlief wie eine Parabel die Funktionsgleichung der randfunktion
16:32 lautete klein FX = x Quadrat dies hier war die Fläche unter diesem Graphen von 0 bis X
16:44 der Flächeninhalt betrug groß F0 von X gleich ein Drittel x hoch 3 dies ist die Integralfunktion
16:56 differenziert man nun die Integralfunktion also bildet man groß f0-
17:05 so ergibt sich nach den bekannten Regeln ein Drittel mal 3x² das ergibt x Quadrat
17:18 ist also gleich klein FX also die ursprüngliche randfunktion groß F abgeleitet ergibt klein f
17:37 der Hauptsatz ist eine fundamentale mathematische Aussage denn er stellt eine Beziehung hier zwischen den zwei großen Gebieten der Analysis der
17:47 Differentialrechnung und der Integralrechnung und seine überragende Bedeutung liegt jetzt nicht nur im inner mathematischen Bereich vielmehr lassen
17:56 sich mit Hilfe des Hauptsatzes auch einfache Regeln für das Integrieren komplizierter Funktionen erstellen er liefert also wenn man eine
18:07 anwendungsorientierte Mathematik betreibt praktische Rechnung Regeln und darauf soll es uns in den folgenden Beispielen ankommen
18:15 sie erinnern sich wir hatten mehrere Problemstellungen die auf die Bestimmung der Integralfunktion führten bei vorgegebener randfunktion da waren
18:25 zunächst einmal die Konstanten oder stückweise linearen Funktionen dort war das Aufstellen der Integralfunktion überhaupt kein Problem denn die
18:33 Flächenstücke waren ja einfach zu berechnen viel schwieriger war das Aufstellen der Integralfunktion schon bei der
18:40 Normalparabel denn dort war ja die randfunktion krumlinisch wir mussten dort Unterteilung vornehmen dann mit Ober- und untersummen rechnen
18:51 dann verfeinern die grenzwertbildung vornehmen bis wir schließlich die Integralfunktion herausgefunden hatten das war ein großer Rechenaufwand
19:00 ähnlich groß wäre der Rechenaufwand wenn wir bei folgender randfunktion die Integralfunktion bestimmen wollten zum Beispiel bei kleinen FX gleich x
19:11 hoch 4 wir suchen zu dieser randfunktion die Integralfunktion groß F0 von x
19:21 um sie zu bestimmen müssten wir jetzt intervallunterteilung vornehmen dann Rechtecke bilden dann summieren und schließlich
19:31 verfeinern das heißt Grenzwert bilden also einen ziemlich großen Rechenaufwand betreiben wenn es nicht den Hauptsatz gäbe
19:40 der Hauptsatz sagt die Ableitung von Groß f ist klein f
19:51 das heißt für unser Beispiel groß f' gleich x hoch 4
20:03 wir suchen also eine Funktion groß f von der wir wissen dass sie differenziert x hoch 4 ergibt
20:21 es geht somit zunächst um einen differenzierungsprozess ihn soll und diese Maschine symbolisieren wenn wir nun zum Beispiel die Funktion y
20:32 = 3x Quadrat durch die Maschine laufen lassen dann wird sie differenziert und es ergibt sich y Strich gleich 6x nun zu unserem Problem
20:47 jetzt ist die Ableitung y-x^4 gegeben und die ursprüngliche Funktion gesucht wir müssen den Vorgang des
20:56 differenzierens umkehren moment mal hier erhalten wir ja eine ganze Menge von Funktionen was ist hier
21:19 los die differenzieren wir einmal zur Probe diese Funktionen zum Beispiel die hier ein Fünftel x^5 -4 sie wird gliedweise
21:30 differenziert und man erhält als Ableitung x^4 oder bei dieser Funktion hier
21:42 wird differenzieren x^4 oder wenn wir diese Funktion differenzieren erhalten wir auch x^4
21:57 die Umkehrung des differenzierens ist also nicht eindeutig schauen wir uns das nochmals an
22:14 alle diese Funktionen hier ergeben differenziert x^4 man nennt diese Funktionen Stammfunktionen von x^4 sie
22:24 unterscheiden sich nur in dem Summanden hinter dem ein Fünftel x hoch 5 sie erkennen zu y Strich gleich x hoch 4 gibt es unendlich viele Stammfunktionen
22:35 eine davon ist unsere gesuchte Integralfunktion groß f jetzt hat die gesuchte Integralfunktion groß F noch eine besondere Eigenschaft
22:51 wenn nämlich x0 wird dann ist auch der Flächeninhalt 0 das heißt groß F an der Stelle 0 ist gleich
23:01 null wir haben somit eine zusätzliche Bedingung für die Integralfunktion gefunden und wir wollen einmal schauen
23:10 ob wir mit dieser zusätzlichen Bedingungen groß F an der Stelle 0 gleich 0 aus der Menge der Stammfunktionen die
23:23 Integralfunktion herausfinden also diese Bedingung muss für die Integralfunktion gelten
23:32 der Funktionswert an der Stelle 0 ist 0 untersuchen wir einmal diese Stammfunktion daraufhin wenn wir x gleich 01 setzen erhalten wir als
23:44 Funktionswert 3 das ist also nicht die Integralfunktion ist das bei dieser Stammfunktion für x = 0 ist der Funktionswert
23:56 -2 das ist auch nicht die Integralfunktion jetzt diese Stammfunktion für x = 0 ist hier der Funktionswert 0
24:10 diese Stammfunktion erfüllt diese Bedingung es ist die gesuchte Integralfunktion denn alle anderen Stammfunktionen haben ja auch hier einen
24:21 Summanden erfüllen also diese Bedingung nicht damit haben wir die Integralfunktion zu dieser Funktion kleinen F gefunden ein Fünftel x^5
24:33 fassen wir hier einmal zusammen bei der Suche nach der Integralfunktion zu einer vorgegebenen Funktion kleinen F stellen sich einem zwei Aufgaben
24:43 erstens Stammfunktionen zu gegebener Funktion klein f bestimmen zweitens
24:52 Integralfunktion in der Menge der Stammfunktionen suchen zum ersten Punkt
25:04 finden Sie im Begleitmaterial Übungsbeispiele mit verschiedenen Funktionen und der zweite Punkt hier wird uns dann in der nächsten Folge
25:12 beschäftigen in leicht veränderter Form damit verabschieden wir uns von ihnen auf Wiedersehen