Das Video kommt von YouTube: erst beim Abspielen verbindet sich die Seite mit YouTube (Google).
Was ist ein Grenzwert - Einführung von Limes
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 42 Zeilen
- Hallo liebe Schüler, heute wollen wir uns das Thema „Grenzwerte“ anschauen. Wir wollen es einführen, und zwar so, dass ihr die Grenzwerte in der Schule verstehen und
- benutzen könnt. Was müsst ihr dazu wissen? Ihr solltet euch die Videos zu den Funktionen angeschaut haben, lineare, quadratische und kubische Funktionen, sowie die Potenz- und
- die ganzrationalen Funktionen. Wenn ihr diese Lektionen gesehen habt, wird euch der Einstieg jetzt leichter fallen. Das neue Überthema heißt übrigens „Differentialrechnung“,
- bei der wir nachher die Grenzwerte benötigen. Und wenn wir die Differentialrechnung beherrschen, kommen wir nachher auch zur „Kurvendiskussion“, zur strukturierten Untersuchung von Funktionen.
- Gut, jetzt aber fangen wir erstmal mit den Grenzwerten an. Betrachten wir uns hierzu erstmal einen Graphen. Hier sehen wir den Graphen der Funktion f(x) = (x – 2) / (x
- + 1), eine gebrochenrationale Funktion. Wie wir sehen, geht der Graph hier entlang und läuft direkt weiter, wenn wir also den x-Wert erhöhen. Schauen wir, links ist die 1, und
- jetzt gehen wir weiter nach rechts, und wir sehen: Umso größer x wird, desto mehr geht der blaue Graph gegen diese y = 1, aber er wird sie nie direkt berühren! Wir können
- also sagen: Wenn x gegen unendlich läuft, also immer größer wird, dann nähern wir uns dem Wert y = 1 an, und das nennt man dann „Grenzwert“. Wir erreichen ihn nicht,
- aber er begrenzt die Höhe, also die y-Werte unserer Funktion. Also unser blauer Graph grenzt an y = 1, wird aber nie diese erreichen und auch nie einen Wert darüber erreichen,
- vorausgesetzt, x ist positiv, weil wir sehen ja: Hier drüben ist ein weiterer Teil des Graphen. Also wir können sagen: x gegen unendlich (x → ∞), dann ist Grenzwert = 1. Und das
- schreibt man wie folgt: Man hat sich das lateinische Wort für „Grenze“ genommen, das ist „Limes“, also merken wir uns: Lateinisch für Grenze. Und man benutzt die Kurzform „lim“. Wir
- haben hier also den Grenzwert, den Limes, und jetzt müssen wir sagen: x gegen unendlich, also müssen jetzt diesen Sachverhalt ausdrücken, dass x immer größer werden soll. Und dann
- wissen wir, von der Schreibweise: x, und „gegen“ kann man mit einem Pfeil darstellen, denn der Pfeil sagt uns, wir sollen gegen einen Wert gehen, bzw. hier in eine Richtung, und
- zwar Richtung plus unendlich (+∞), schreiben wir also „+“ und dann das Zeichen für unendlich (∞): x → ∞. Und man hat sich entschieden, diese Vorschrift unter „lim“
- zu schreiben, also das müsst ihr hierunter notieren. Warum? Wir müssen ja noch hier die Funktion notieren, die muss ja auch hier stehen, damit wir wissen, bei welcher Funktion
- x gegen unendlich laufen soll, also allgemein: f(x), und dann dürfen wir auch die Funktionsgleichung eintragen, und unsere Funktion heißt f(x) = (x – 2) / (x + 1). Wenn ihr das also in
- euerem Mathebuch findet, dann wisst ihr, ihr könnt diese Funktion erstmal als Graph zeichnen, dann würdet ihr diesen blauen Graphen erhalten, und dann würde danach gefragt: x geht gegen
- + ∞, welcher Wert kommt da heraus? Und x gegen ∞, also x wird immer größer, größer, größer, und das haben wir vorhin gesehen, der geht gegen 1. Also unser Grenzwert ist
- 1. Und das wäre dann die Lösung dieser Fragestellung. Jetzt haben wir das graphisch gesehen – man kann das natürlich berechnen. Bevor wir das berechnen, schauen wir uns aber noch eine
- weitere Funktion an: Und zwar nehmen wir uns mal die Funktion 1/x und schauen, was mit deren y-Werten passiert, wenn x immer größer wird. Hier ist der Funktionsgraph von 1/x,
- den hatten wir ja schon bei den Potenzfunktionen kennen gelernt, und wir hatten das „Hyperbel“ genannt; und jetzt lernen wir einen neuen Begriff kennen, der sich „Asymptote“ nennt.
- Asymptote meint eine Funktion, die sich einer Achse oder einer anderen Funktion im Unendlichen annähert, und zwar nähert sich hier der Funktionsgraph der x-Achse an. Eine Asymptote
- kann sich auch einer anderen Funktion annähern; also wenn wir jetzt hier oben durch 1 eine Gerade zeichnen würden, und unser Graph würde sich an die 1 annähern, dann wäre das auch
- eine Asymptote. Und dann schauen wir mal, wenn wir nach rechts gehen, die x-Werte werden immer größer, und wir sehen: Der Graph geht gegen 0. Also y = 0 wird der Grenzwert dieser
- Funktion sein, wenn wir gegen unendlich gehen. Halten wir das fest: Der Limes von 1/x für x → +∞ hat den Grenzwert 0. Und jetzt können wir danach fragen: Was passiert denn,
- wenn wir x immer kleiner wählen, also für x → - ∞ ? Wir sehen dann, der Graph kommt von unten, die y-Werte nehmen immer zu, und der Graph geht gegen 0, also y = 0 ist der
- Grenzwert bei x → -∞. Schreiben wir das auf: Der Grenzwert für x → -∞ von 1/x ist 0 – genauso wie der Grenzwert bei x → +∞. Jetzt kommt noch etwas Interessantes,
- und zwar müssen wir den Grenzwert nicht immer gegen -∞ und +∞ betrachten, wir können den auch gegen jede beliebige Zahl betrachten. Hier zum Beispiel interessant: Wenn x immer
- kleiner wird, also wir kommen von rechts, gehen nach links, der x-Wert wird immer kleiner: 4, 3, 2, 1 … gegen 0, dann sehen wir, dass die y-Werte immer größer werden, immer mehr
- steigen, je kleiner x wird – je kleiner x wird, desto größer wird y; und das können wir ebenfalls aufschreiben: x geht gegen 0, y geht dann gegen +∞. Halten wir das hier
- drüben fest: Wir schreiben Limes, darunter das x → 0, dann unsere Funktion 1/x, und jetzt schreiben wir welchen Wert? Richtig, der Grenzwert ist ∞. Und jetzt schauen wir
- mal, wenn x von der anderen Seite kommt, und zwar von links, also aus dem negativen Bereich; wenn die x-Werte immer größer werden, -3, -2, -1 und dann gegen 0 gehen, sehen wir,
- werden die y-Werte immer kleiner, sie gehen gegen -∞. Notieren wir das ebenfalls korrekt: Limes x → 0, aber jetzt ist die Frage: Wir hatten ja x → 0, da kamen wir von der rechten
- Seite, und die x-Werte waren alle positiv und gingen gegen 0. Und hier kommen wir jetzt von der linken Seite, die x-Werte sind alle negativ und gehen gegen 0. Wie notiert man
- das richtig? Und um das klar zu machen, schreibt man an der 0 ein hochgestelltes „+“ hier, das heißt, positive x-Werte gehen gegen 0; und hier unten schreibt man ein kleines „-“ an
- die 0, leicht hochgestellt. Und hier heißt es damit: Die x-Werte kommen aus dem Negativen und gehen gegen 0. So, und wir haben gesagt: Da kommt dann -∞ heraus. Hier gibt es neue
- Begriffe zu lernen: Hier kommt x aus dem Positiven, also von rechts, daher sagt man hier auch „Rechtsseitiger Grenzwert“, und hier kommt x aus dem Negativen, also von links, daher
- nennt man das hier auch „Linksseitigen Grenzwert“. Jetzt haben wir erstmal einen Eindruck, was Grenzwerte sind und wie man sie notiert. Sagen wir noch, wie man das richtig vorliest, denn
- bisher haben wir es noch nicht ganz richtig ausgesprochen. Richtig sagt man, und das schreiben wir jetzt nochmal hin: Limes von f(x) für x → ∞; und es muss ja nicht ∞ sein,
- es kann ja ein beliebiger Wert sein, nennen wir ihn hier „p“. Und das ist die richtige Aussprache. Limes von f(x) für x → p, und Ergebnis ist „L“, der Limes-Wert. Hier
- oben: Limes von 1/x für x → +∞ Das ist also die richtige Sprechweise, die wir ab sofort auch so benutzen. Im nächsten Teil erfahren wir, wie sich Grenzwerte berechnen
- lassen.
Zum Nachlesen
MathematikAn deutschen Universitäten gehört die Mathematik meistens zur selben Fakultät wie die Naturwissenschaften, und so wird Mathematikern nach der Promotion in der …
DifferentialrechnungDie Differential- oder Differenzialrechnung ist ein wesentlicher Bestandteil der Analysis und damit ein Gebiet der Mathematik.
AsymptoteEine Asymptote (altgr. ἀσύμπτωτος asýmptōtos „nicht übereinstimmend“, von altgr. πίπτω pípto „ich falle“) ist in der Mathematik eine Kurve, häufig eine …