Was ist ein Grenzwert - Einführung von Limes
Matheretter
https://www.youtube.com/watch?v=LJo8kBy4DKE

Transkript (automatisch erstellt)

0:08 Hallo liebe Schüler, heute wollen wir uns das Thema „Grenzwerte“ anschauen. Wir wollen es einführen, und zwar so, dass ihr die Grenzwerte in der Schule verstehen und
0:18 benutzen könnt. Was müsst ihr dazu wissen? Ihr solltet euch die Videos zu den Funktionen angeschaut haben, lineare, quadratische und kubische Funktionen, sowie die Potenz- und
0:29 die ganzrationalen Funktionen. Wenn ihr diese Lektionen gesehen habt, wird euch der Einstieg jetzt leichter fallen. Das neue Überthema heißt übrigens „Differentialrechnung“,
0:39 bei der wir nachher die Grenzwerte benötigen. Und wenn wir die Differentialrechnung beherrschen, kommen wir nachher auch zur „Kurvendiskussion“, zur strukturierten Untersuchung von Funktionen.
0:51 Gut, jetzt aber fangen wir erstmal mit den Grenzwerten an. Betrachten wir uns hierzu erstmal einen Graphen. Hier sehen wir den Graphen der Funktion f(x) = (x – 2) / (x
1:04 + 1), eine gebrochenrationale Funktion. Wie wir sehen, geht der Graph hier entlang und läuft direkt weiter, wenn wir also den x-Wert erhöhen. Schauen wir, links ist die 1, und
1:20 jetzt gehen wir weiter nach rechts, und wir sehen: Umso größer x wird, desto mehr geht der blaue Graph gegen diese y = 1, aber er wird sie nie direkt berühren! Wir können
1:36 also sagen: Wenn x gegen unendlich läuft, also immer größer wird, dann nähern wir uns dem Wert y = 1 an, und das nennt man dann „Grenzwert“. Wir erreichen ihn nicht,
1:51 aber er begrenzt die Höhe, also die y-Werte unserer Funktion. Also unser blauer Graph grenzt an y = 1, wird aber nie diese erreichen und auch nie einen Wert darüber erreichen,
2:08 vorausgesetzt, x ist positiv, weil wir sehen ja: Hier drüben ist ein weiterer Teil des Graphen. Also wir können sagen: x gegen unendlich (x → ∞), dann ist Grenzwert = 1. Und das
2:21 schreibt man wie folgt: Man hat sich das lateinische Wort für „Grenze“ genommen, das ist „Limes“, also merken wir uns: Lateinisch für Grenze. Und man benutzt die Kurzform „lim“. Wir
2:36 haben hier also den Grenzwert, den Limes, und jetzt müssen wir sagen: x gegen unendlich, also müssen jetzt diesen Sachverhalt ausdrücken, dass x immer größer werden soll. Und dann
2:47 wissen wir, von der Schreibweise: x, und „gegen“ kann man mit einem Pfeil darstellen, denn der Pfeil sagt uns, wir sollen gegen einen Wert gehen, bzw. hier in eine Richtung, und
2:58 zwar Richtung plus unendlich (+∞), schreiben wir also „+“ und dann das Zeichen für unendlich (∞): x → ∞. Und man hat sich entschieden, diese Vorschrift unter „lim“
3:12 zu schreiben, also das müsst ihr hierunter notieren. Warum? Wir müssen ja noch hier die Funktion notieren, die muss ja auch hier stehen, damit wir wissen, bei welcher Funktion
3:22 x gegen unendlich laufen soll, also allgemein: f(x), und dann dürfen wir auch die Funktionsgleichung eintragen, und unsere Funktion heißt f(x) = (x – 2) / (x + 1). Wenn ihr das also in
3:36 euerem Mathebuch findet, dann wisst ihr, ihr könnt diese Funktion erstmal als Graph zeichnen, dann würdet ihr diesen blauen Graphen erhalten, und dann würde danach gefragt: x geht gegen
3:48 + ∞, welcher Wert kommt da heraus? Und x gegen ∞, also x wird immer größer, größer, größer, und das haben wir vorhin gesehen, der geht gegen 1. Also unser Grenzwert ist
4:00 1. Und das wäre dann die Lösung dieser Fragestellung. Jetzt haben wir das graphisch gesehen – man kann das natürlich berechnen. Bevor wir das berechnen, schauen wir uns aber noch eine
4:11 weitere Funktion an: Und zwar nehmen wir uns mal die Funktion 1/x und schauen, was mit deren y-Werten passiert, wenn x immer größer wird. Hier ist der Funktionsgraph von 1/x,
4:26 den hatten wir ja schon bei den Potenzfunktionen kennen gelernt, und wir hatten das „Hyperbel“ genannt; und jetzt lernen wir einen neuen Begriff kennen, der sich „Asymptote“ nennt.
4:38 Asymptote meint eine Funktion, die sich einer Achse oder einer anderen Funktion im Unendlichen annähert, und zwar nähert sich hier der Funktionsgraph der x-Achse an. Eine Asymptote
4:53 kann sich auch einer anderen Funktion annähern; also wenn wir jetzt hier oben durch 1 eine Gerade zeichnen würden, und unser Graph würde sich an die 1 annähern, dann wäre das auch
5:03 eine Asymptote. Und dann schauen wir mal, wenn wir nach rechts gehen, die x-Werte werden immer größer, und wir sehen: Der Graph geht gegen 0. Also y = 0 wird der Grenzwert dieser
5:16 Funktion sein, wenn wir gegen unendlich gehen. Halten wir das fest: Der Limes von 1/x für x → +∞ hat den Grenzwert 0. Und jetzt können wir danach fragen: Was passiert denn,
5:30 wenn wir x immer kleiner wählen, also für x → - ∞ ? Wir sehen dann, der Graph kommt von unten, die y-Werte nehmen immer zu, und der Graph geht gegen 0, also y = 0 ist der
5:45 Grenzwert bei x → -∞. Schreiben wir das auf: Der Grenzwert für x → -∞ von 1/x ist 0 – genauso wie der Grenzwert bei x → +∞. Jetzt kommt noch etwas Interessantes,
6:04 und zwar müssen wir den Grenzwert nicht immer gegen -∞ und +∞ betrachten, wir können den auch gegen jede beliebige Zahl betrachten. Hier zum Beispiel interessant: Wenn x immer
6:15 kleiner wird, also wir kommen von rechts, gehen nach links, der x-Wert wird immer kleiner: 4, 3, 2, 1 … gegen 0, dann sehen wir, dass die y-Werte immer größer werden, immer mehr
6:30 steigen, je kleiner x wird – je kleiner x wird, desto größer wird y; und das können wir ebenfalls aufschreiben: x geht gegen 0, y geht dann gegen +∞. Halten wir das hier
6:45 drüben fest: Wir schreiben Limes, darunter das x → 0, dann unsere Funktion 1/x, und jetzt schreiben wir welchen Wert? Richtig, der Grenzwert ist ∞. Und jetzt schauen wir
6:59 mal, wenn x von der anderen Seite kommt, und zwar von links, also aus dem negativen Bereich; wenn die x-Werte immer größer werden, -3, -2, -1 und dann gegen 0 gehen, sehen wir,
7:12 werden die y-Werte immer kleiner, sie gehen gegen -∞. Notieren wir das ebenfalls korrekt: Limes x → 0, aber jetzt ist die Frage: Wir hatten ja x → 0, da kamen wir von der rechten
7:27 Seite, und die x-Werte waren alle positiv und gingen gegen 0. Und hier kommen wir jetzt von der linken Seite, die x-Werte sind alle negativ und gehen gegen 0. Wie notiert man
7:38 das richtig? Und um das klar zu machen, schreibt man an der 0 ein hochgestelltes „+“ hier, das heißt, positive x-Werte gehen gegen 0; und hier unten schreibt man ein kleines „-“ an
7:52 die 0, leicht hochgestellt. Und hier heißt es damit: Die x-Werte kommen aus dem Negativen und gehen gegen 0. So, und wir haben gesagt: Da kommt dann -∞ heraus. Hier gibt es neue
8:05 Begriffe zu lernen: Hier kommt x aus dem Positiven, also von rechts, daher sagt man hier auch „Rechtsseitiger Grenzwert“, und hier kommt x aus dem Negativen, also von links, daher
8:17 nennt man das hier auch „Linksseitigen Grenzwert“. Jetzt haben wir erstmal einen Eindruck, was Grenzwerte sind und wie man sie notiert. Sagen wir noch, wie man das richtig vorliest, denn
8:29 bisher haben wir es noch nicht ganz richtig ausgesprochen. Richtig sagt man, und das schreiben wir jetzt nochmal hin: Limes von f(x) für x → ∞; und es muss ja nicht ∞ sein,
8:39 es kann ja ein beliebiger Wert sein, nennen wir ihn hier „p“. Und das ist die richtige Aussprache. Limes von f(x) für x → p, und Ergebnis ist „L“, der Limes-Wert. Hier
8:55 oben: Limes von 1/x für x → +∞ Das ist also die richtige Sprechweise, die wir ab sofort auch so benutzen. Im nächsten Teil erfahren wir, wie sich Grenzwerte berechnen
9:10 lassen.