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Gebrochenrationale Funktionen
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 28 Zeilen
- Wir zeigen euch jetzt, was gebrochen rationale Funktionen sind und wie er deren Null und Polstmen bestimmt. Zuerst mal, was ist überhaupt eine
- gebrochen rationale Funktion? Bei einer gebrochen rationalen Funktion teile ich ein Polynom durch ein anderes. Also z.B. sowas ist eine gebrochen rationale
- Funktion oder sowas. Wir gucken uns jetzt erstmal an, wie man Nullstellen von gebrochen rationalen Funktionen bestimmt.
- Als Beispiel nehmen wir die Funktion x-5 dur x - 1 zum. Eine Sache wissen wir bzw. sollten wir wissen. 0 durch irgendwas ergibt immer
- 0. Das heißt, sobald der Zähler bei einem Bruch 0 ist, wird der ganze Bruch null. Um jetzt für unsere Beispielfunktion die Nullstellen zu
- bestimmen, muss man also den Zähler gleich 0 setzen. Also x - 5 = 0, was sofort x = 5 ergibt. Wenn wir nämlich 5 oben einsetzen, haben wir 5 - 5, was 0
- ergibt und damit der ganze Bruch 0 wird. Damit ist das die einzige Nullstelle. Weiter im Takt. Es gibt eine Sache, die man in der Mathematik niemals machen
- darf. durch hat man eine gebrochen rationale Funktion, also so Einbruch hier, da muss
- man ja gucken, dass man nicht durch null teilt. Das heißt, man muss aufpassen, dass hier der gelbe Teil nicht null wird. Dafür gibt man den
- Definitionsbereich an. Der gibt an, was für Zahlen man in die Funktion einsetzen darf. Bei einer, sagen wir mal, normalen Funktion darf man eigentlich immer alles
- einsetzen. Bei einer gebrochen rationalen Funktion muss man aber aufpassen. Immerhin darf man ja nicht durch null teilen. Wir müssen also
- gucken, dass der Nenner nicht null wird. Dazu setzt man den Nenner 0, damit man weiß, was man eben nicht einsetzen darf. In unserem Fall ist es x = -1. Wenn wir
- nämlich -1 einsetzen, dann ist -1 + 1 = 0 und 0 zum Quadrat ist immer noch 0. Wenn man also -1 einsetzt, würden wir durch 0 teilen, was man ja auf keinen
- Fall machen darf. Man schreibt den Definitionsbereich dann folgendermaßen auf. D = alle Reellen Zahlen ohne die -1. Das heißt also so viel wie ich darf
- alles einsetzen, außer die -1. Hinten in der geschweiften Klammer gibt man also eine Menge an Zahlen an, die man eben nicht in die Funktion einsetzen darf,
- weil man dann durch null teilen würde. Wenn man so eine Definitionslücke hat, dann sieht das im Grafen der gebrochen rationalen Funktion meistens so
- irgendwie aus. Die Funktion nährt sich dann dieser Stelle an, erreicht die aber nie so wirklich. Für diesen Punkt hier ist nämlich kein y Wert definiert.
- Meistens hat dann die Funktion hier eine sogenannte senkrechte Asymptote. Das ist das blaue Ding hier. Man nennt die Stelle dann auch Polstelle. Verwechselt
- das nicht mit der wagrechten Asymptoten. Dazu machen wir auch noch ein Video. Eine Polstele Stiele Stiele. Was? Eine Polstelle liegt vor, wenn es eine
- Definitionslücke an der Stelle gibt. Ich also den Wert nicht einsetzen darf wegen durch nullteilen und so. Und wenn der Zähler für den Wert nicht null ist, wäre
- der Zähler nämlich auch null, würde man das Ding behebare Definitionslücke nennen und dann wäre es keine Polstelle. Aber das ist in vielen Bundesländern
- nicht so relevant. Schreibt mal, ob wir dazu noch ein extra Video machen sollen. Müsst ihr also Polstellen bestimmen, dann einfach den Nenner gleich 0 setzen
- und gucken, dass der Zähler dann nicht null ist. Eine Sache wollen wir noch kurz erwähnen. Es gibt Polstellen mit und ohne Vorzeichenwechsel. Die linke
- Polstelle hier wäre eine ohne Vorzeichenwechsel. Das sieht man dann am Grafen, weil die Annäherung links und rechts in dieselbe Richtung geht.
- Dagegen wäre dann die Polstelle bei der rechten Funktion eine mit Vorzeichenwechsel. Links davon geht die Funktion nämlich ins Minusunendliche und
- rechts davon ins Plus unendliche. So, um das jetzt noch mal zu vertiefen, hier noch mal eine weitere Beispielfunktion. Bestimmt davon mal die Nullstellen, den
- Definitionsbereich und die Polstellen. Die Lösung der Aufgabe gibt's auf der Website zum Download. Der Link ist in der Beschreibung. Das war's dann auch
- mit dem Video. Wir hoffen, es hat euch gefallen.
Zum Nachlesen
PolynomExponenten der Potenzen sind natürliche Zahlen. Die Summe ist außerdem stets endlich. Unendliche Summen von Vielfachen von Potenzen mit natürlichzahligen …
DefinitionslückeDie Definitionslücken einer Funktion lassen sich klassifizieren und gegebenenfalls „reparieren“, so dass die Funktion dort mit den gewünschten Eigenschaften …