Gebrochenrationale Funktionen
Mathe - simpleclub
https://www.youtube.com/watch?v=CJE61O7bCdU

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 Wir zeigen euch jetzt, was gebrochen rationale Funktionen sind und wie er deren Null und Polstmen bestimmt. Zuerst mal, was ist überhaupt eine
0:08 gebrochen rationale Funktion? Bei einer gebrochen rationalen Funktion teile ich ein Polynom durch ein anderes. Also z.B. sowas ist eine gebrochen rationale
0:17 Funktion oder sowas. Wir gucken uns jetzt erstmal an, wie man Nullstellen von gebrochen rationalen Funktionen bestimmt.
0:25 Als Beispiel nehmen wir die Funktion x-5 dur x - 1 zum. Eine Sache wissen wir bzw. sollten wir wissen. 0 durch irgendwas ergibt immer
0:35 0. Das heißt, sobald der Zähler bei einem Bruch 0 ist, wird der ganze Bruch null. Um jetzt für unsere Beispielfunktion die Nullstellen zu
0:43 bestimmen, muss man also den Zähler gleich 0 setzen. Also x - 5 = 0, was sofort x = 5 ergibt. Wenn wir nämlich 5 oben einsetzen, haben wir 5 - 5, was 0
0:53 ergibt und damit der ganze Bruch 0 wird. Damit ist das die einzige Nullstelle. Weiter im Takt. Es gibt eine Sache, die man in der Mathematik niemals machen
1:02 darf. durch hat man eine gebrochen rationale Funktion, also so Einbruch hier, da muss
1:09 man ja gucken, dass man nicht durch null teilt. Das heißt, man muss aufpassen, dass hier der gelbe Teil nicht null wird. Dafür gibt man den
1:17 Definitionsbereich an. Der gibt an, was für Zahlen man in die Funktion einsetzen darf. Bei einer, sagen wir mal, normalen Funktion darf man eigentlich immer alles
1:25 einsetzen. Bei einer gebrochen rationalen Funktion muss man aber aufpassen. Immerhin darf man ja nicht durch null teilen. Wir müssen also
1:31 gucken, dass der Nenner nicht null wird. Dazu setzt man den Nenner 0, damit man weiß, was man eben nicht einsetzen darf. In unserem Fall ist es x = -1. Wenn wir
1:41 nämlich -1 einsetzen, dann ist -1 + 1 = 0 und 0 zum Quadrat ist immer noch 0. Wenn man also -1 einsetzt, würden wir durch 0 teilen, was man ja auf keinen
1:51 Fall machen darf. Man schreibt den Definitionsbereich dann folgendermaßen auf. D = alle Reellen Zahlen ohne die -1. Das heißt also so viel wie ich darf
2:01 alles einsetzen, außer die -1. Hinten in der geschweiften Klammer gibt man also eine Menge an Zahlen an, die man eben nicht in die Funktion einsetzen darf,
2:09 weil man dann durch null teilen würde. Wenn man so eine Definitionslücke hat, dann sieht das im Grafen der gebrochen rationalen Funktion meistens so
2:17 irgendwie aus. Die Funktion nährt sich dann dieser Stelle an, erreicht die aber nie so wirklich. Für diesen Punkt hier ist nämlich kein y Wert definiert.
2:26 Meistens hat dann die Funktion hier eine sogenannte senkrechte Asymptote. Das ist das blaue Ding hier. Man nennt die Stelle dann auch Polstelle. Verwechselt
2:34 das nicht mit der wagrechten Asymptoten. Dazu machen wir auch noch ein Video. Eine Polstele Stiele Stiele. Was? Eine Polstelle liegt vor, wenn es eine
2:43 Definitionslücke an der Stelle gibt. Ich also den Wert nicht einsetzen darf wegen durch nullteilen und so. Und wenn der Zähler für den Wert nicht null ist, wäre
2:53 der Zähler nämlich auch null, würde man das Ding behebare Definitionslücke nennen und dann wäre es keine Polstelle. Aber das ist in vielen Bundesländern
3:00 nicht so relevant. Schreibt mal, ob wir dazu noch ein extra Video machen sollen. Müsst ihr also Polstellen bestimmen, dann einfach den Nenner gleich 0 setzen
3:07 und gucken, dass der Zähler dann nicht null ist. Eine Sache wollen wir noch kurz erwähnen. Es gibt Polstellen mit und ohne Vorzeichenwechsel. Die linke
3:17 Polstelle hier wäre eine ohne Vorzeichenwechsel. Das sieht man dann am Grafen, weil die Annäherung links und rechts in dieselbe Richtung geht.
3:25 Dagegen wäre dann die Polstelle bei der rechten Funktion eine mit Vorzeichenwechsel. Links davon geht die Funktion nämlich ins Minusunendliche und
3:32 rechts davon ins Plus unendliche. So, um das jetzt noch mal zu vertiefen, hier noch mal eine weitere Beispielfunktion. Bestimmt davon mal die Nullstellen, den
3:40 Definitionsbereich und die Polstellen. Die Lösung der Aufgabe gibt's auf der Website zum Download. Der Link ist in der Beschreibung. Das war's dann auch
3:47 mit dem Video. Wir hoffen, es hat euch gefallen.