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Gebrochen rationale Funktionen
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 54 Zeilen
- hi und herzlich willkommen im mathem Magazin Thema in diesem Video Eigenschaften von gebrochen rationalen Funktionen so oh scheiße das klingt
- kompliziert was sind eigentlich gebrochen rationale Funktionen und was sind eigentlich davon die Eigenschaften das schauen wir uns jetzt Schritt für
- Schritt an und zwar direkt an einem Beispiel wir machen also mit das einfachste Beispiel dass es gibt und zwar FX ist gleich zwei geteilt durch x
- so warum ist das jetzt das einfachste Beispiel und warum ist das überhaupt eine gebrochen rationale Funktion gebrochen rationale Funktion müssen wir
- zwei Bedingungen erfüllen die erste Bedingung ist wir können uns eigentlich schon oben rauslesen steht gebrochen in der Überschrift also wir brauchen einen
- Bruch den haben wir hier zwei geteilt durch x passt Haken dahinter zweite Bedingung wir brauchen ein X im Nenner
- das haben wir auch wenn wir jetzt eine Variable hier vorne t haben dann brauchen wir natürlich Themen also wir brauchen auf jeden Fall ums allgemein zu
- sagen eine Variable im Nenner so und somit ist das hier somit die einfachste gebrochene rationale Funktion noch einfacher wäre vielleicht wenn ich
- hier oben eine Einschreiben würde gehen wir mal eine Stufe weiter wir machen das Ganze ein bisschen komplizierter und zwar haben wir FX
- = 4x geteilt durch 3 - x auch hier wieder beide Bedingungen prüfen erste Bedingungen hoch ja klar der ist da das sehen wir relativ leicht zweite
- Bedingung auch nicht so kompliziert haben wir die Variable und einem Nenner ja wir haben hier unten ein X was wir jetzt aber noch zusätzlich haben hier
- ist wir haben hier oben auch ein X in Zähler ist das jetzt ein Problem nein ist es nicht wichtig ist nur dass wir die Variable auf jeden Fall einmal im
- Nenner haben was dann oben im Zähler steht das ist völlig egal da kann x Quadrat x hoch 10 stehen alles egal deswegen ist auch das hier eine
- gebrochenrationale Funktion so wir gehen noch einen Schritt weiter und zwar hier unten zur grünen mit der Arbeit werden euch jetzt auch gleich wir haben hier FX
- = 1 / x -1 und hinten noch mal plus 1,53 gehängt was ist jetzt der Unterschied hier wir haben hier hinten noch mal so ein
- Anhängsel mit +1,5 auch hier ich glaube wir können schnell durchgehen Bruch ist da variable im Nenner ist da also Haken
- dahinter das ist eine gebrochenrationale Funktion so was habe ich jetzt schon mal gemacht und zwar ich habe die hier hin skizziert jetzt denkt ihr euch
- bestimmt auch zurecht wie zur Hölle kommt er da drauf und kann das Ding jetzt schon zeichnen
- es gibt zwei Möglichkeiten wie ihr das auch könnt die erste Möglichkeit ist ihr nehmt euren Computer habt da irgendeine Mathematik Software drauf schreibt die
- Funktion rein drückt auf = Enter und dann bekommt ihr das ganze Ding gezeichnet zweite Möglichkeit ist ihr passt jetzt auf und ich erkläre es euch
- wir haben hier auch schon mal gestrichelte Linien einmal eine rote gestrichelte Linie und eine Orange gestrichelte Linie und ihr seht schon
- irgendwie scheinen diese Linien irgendwelche Begrenzungen zu sein hier fährt die Funktion ziemlich nah von unten an die Linie heran an die Orange
- hier fährt sie von oben an die orangene Linie heran und hier von links ran und hier von rechts ran aber was bedeuten diese rote und orangene Linie eigentlich
- das schauen wir uns jetzt mal an und zwar haben wir das Thema Definitionslücke es ist also die Frage gibt es irgendeinen Wert für X den wir
- nicht einsetzen dürfen bzw anders gesprochen bei dem wir dann keinen y-Wert rausbekommen und dazu muss man jetzt folgendes wissen
- eine ganz ganz wichtige Regel wenn wir mit einem Bruch arbeiten dann darf unten im Nenner nie die Zahl 0 rauskommen zum Beispiel 1 geteilt durch 0 das
- funktioniert einfach nicht gibt es auch mal ein Taschenrechner ein da wird der meckern und sagen hey Kumpel so nicht und deswegen habe ich das noch mal hier
- aufgeschrieben nenne nie Null das ist so ein kleiner Merksatz nnn-0 das heißt jetzt also wir schauen uns an wann würde denn der Nenner 0
- werden und diesen Wert müssen wir eben aus unserer Definitionsmenge das ist ja die Menge die wir einsetzen dürfen und zahlen für X da müssen wir die Zahl dann
- ausnehmen also nehmen wir uns den Nenner ziehen ihn weg und Schreiben X-1 = 0 ich habe ein kleines Fragezeichen
- darüber gemacht weil das will ich ja jetzt herausfinden wann würde das passieren +1 rechnen also einfach auflösen und
- dann bekommen wir raus X ist gleich 1 das heißt also bei der Zahl x gleich 1 bekommen wir keinen y-Wert raus heißt ein bisschen
- mathematisch gesprochen da ist die Funktion nicht definiert schauen wir mal x = 1 a und genau da geht jetzt diese rote gestrichelte Linie
- durch ist ja auch klar wir haben uns sozusagen alle
- y-Werte für x = 1 rausgestrichen also hier dürfen wir keinen Wert annehmen es kann also nicht sein dass unsere Funktion irgendwie hier durch geht weil
- hier ist verbotene Zone so das gibt als ich jetzt hier diese erste gestrichelte Linie nach unten man nennt die auch senkrechte Asymptote
- und das bringt uns jetzt gleich dazu zu orangenen Linie zu unserer waagerechten Asymptote was bedeutet die jetzt eigentlich naja wir sehen schon wir
- gehen hier Richtung unendlich in die negativrichtung und hier Richtung unendlich in die positive Richtung und da
- fahren wir so langsam diese orangene Linie an das heißt also wir betrachten jetzt was macht die Funktion wenn wir für X gegen Unendlich gehen und was
- macht die Funktion wenn wir für X gegen minus unendlich gehen ganz einfach wie bekommt man das heraus naja man nimmt hohe Zahlen und setzt die
- jeweils in die Funktion ein einmal plus 100 und einmal -100 habe ich jetzt genau ihr könnt auch plus eine Million und - eine Million nehmen das ist völlig egal
- aber bei 100 glaube ich ist das schon sehr aussagekräftig was dann da im momentlichen jeweils passiert ich setze also hier die 101 jeweils und die minus
- 100 und was passiert jetzt schauen wir uns mal die Rechnung genau an wir haben hier eins geteilt durch 100 - 1 also 1
- geteilt durch 99 und das wird ganz knapp über Null liegen habe ich ja schon ausgerechnet sich gerade 0,01 und wenn wir haben 1 geteilt
- durch -100-1 sind wir bei 1 geteilt durch minus 101 und das wird ganz ganz knapp unter Null liegen also haben wir knapp
- über Null und dann die plus 1,5 und knapp unter 0 und plus die 1,5 jetzt kann man das ganze noch ausrechnen wann bekommt dann hier
- 1,51 raus und hier kommt 1,491 heraus und jetzt sehen wir schon dass es beide sehr nah an dieser 1,5 dran wir haben
- also hier irgendwo ganz hinten bei minus 100 den y-Wert 1,491 und hier ganz hinten haben wir den y-Wert 1,51 das passt auch weil hier
- müssen wir leicht über diese 1,5 sein und hier müssen wir leicht unter dieser 1,5 sein um das jetzt ein bisschen auf die Spitze
- zu treiben könnt ihr noch eine Million einsetzen und -1 Millionen zum Beispiel ihr werdet aber immer merken das hier eine ganz ganz kleine Zahl über
- Null rauskommt und hier eine ganz ganz kleine Zahl unter 0 und somit das hier immer größer als 1,5 ist und das hier immer kleiner als 1,5 ist und somit kann
- man jetzt auch sagen ich schreibe das noch mal hin wir haben also als Grenzwert y = 1,5
- einmal von oben ran und einmal von unten dran und somit nimmt man das hier unsere waagerechte aus dem Tote und das bedeutet wo fährt unsere Funktion denn
- im Unendlichen hin so das was zu diesem Themengebiet ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen und jetzt viel Spaß beim Verstehen ciao