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VEKTORRECHNUNG Mittelpunkt berechnen – Grundlagen, Mitte von zwei Vektoren
Das Wichtigste aus dem Video
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Transkriptautomatisch erstellt · 81 Zeilen
- hallo ihr Lieben heute möchte ich euch zeigen wie man bei Vektoren Mittelpunkte berechnen kann und ich möchte verschiedene Arten von Aufgaben mit euch
- durchgehen als erstes hier wenn zwei Punkte gegeben sind und wir sollen den Mittelpunkt berechnen dann gibt es aber auch eine Variation davon dass ein Punkt
- und der Mittelpunkt gegeben sind und man soll den weiteren Punkt berechnen und sehr ähnlich ist es hier unten hier sind m und B gegeben und man soll a
- herausfinden also diese drei Aufgabentypen möchte ich heute mit euch durchgen wir starten mit dem ersten so bestimme die Koordinaten des
- Mittelpunktes m der Strecke ab wir bekommen also a und b wenn wir uns dazu mal die Skizze machen a hier B hier wir können die eben verbinden und hier wäre
- der Mittelpunkt dessen Koordinaten gesucht sind ich möchte euch jetzt hier von der Nummer 1 zwei verschiedene Wege zeigen wie man vorgehen kann es gibt
- nämlich eine Formel ist auch super einfach man ist sehr schnell fertig allerdings lernt man bei dieser Formel genau gar nichts das habe ich
- festgestellt dass Leute die Formel benutzen aber überhaupt keine Ahnung davon haben was sie hier tun und wenn man am Anfang von den Vektoren steht ist
- es super gut wenn man genau diese Aufgaben hier nutzt um die Vektoren besser kennenzulernen und da sie so anschaulich sind möchte ich euch noch
- einen zweiten Weg zeigen der gar nicht die Formel benutzt sondern einfach das wie Vektoren halt eben funktionieren und wenn man sich das an diesen einfachen
- Beispielen hier aneignet hat man es viel leichter für schwierigere Aufgaben die dann danach kommen also lass uns trotzdem mal mit der Formel rangehen
- wenn ihr den Mittelpunkt von einer Strecke sucht dann könnt ihr den Mittelpunkt mit dieser Formel hier berechnen ganz easy ein/b mal die
- äußeren Punkte also a + b das ist alles was ihr machen müsst das wäre die Formel und dann findet ihr den Mittelpunkt lass es uns mal machen wir hätten also ein/b
- mal und jetzt müssen wir die beiden äußeren Vektoren einfach addieren also 2 + 22 wären 24 genauso hier 6 + 6 wären 12 einfach koordinatenweise
- -2 + 12 wären 10 jetzt müssen wir nur noch ein/b mal diesen Vektor rechnen das heißt jede Koordinate wird einfach mit ein/b multipliziert 1/b mal 24 also die
- Hälfte von 24 wären 12 genauso die zweite Koordinate 1/b mal 12 die Hälfte also wären 6 und dann noch die Hälfte von 10 wären 5 und
- schwup die wup habt ihr eure Koordinaten von eurem Mittelpunkt fertig seid ihr ging schnell ne so jetzt möchte ich aber das ganze viel anschaulicher machen wir
- gucken mal ganz kurz noch hier also diesen Vektor den wir hier berechnet haben das ist ja ein Punkt den wir hier berechnet haben und der läuft immer vom
- Ursprung wenn ich den hier mal reinzeichne als Null läuft immer vom Ursprung zu diesem Punkt ne also nur so als Anschauung noch mal was wir hier
- berechnet haben der läuft nicht von irgendeinem Punkt zu einem anderen Punkt sondern immer vom Ursprung zu diesem Punkt so zweite Variante von der ersten
- Aufgabe wir sollen wieder mit A und B genau dieselben Zahlen wir schauen einfach mal ob wir mit unserer Varianten auch auf das Ergebnis kommen wir haben
- eben zwei Punkte gegeben Punkt A und Punkt B und wir sollen den Mittelpunkt dieser Strecke finden das wäre der Punkt M der ist gesucht wie eben schon gezeigt
- anschaulich bedeutet das vom Punkt n0 also vom Ursprung des Koordinatensystems zu diesen Koordinaten hin das ist der Vektor m der letztendlich gesucht
- ist wenn wir von 0 zu m laufen möchten können wir jetzt aber nicht direkt sagen hier das ist der weil wir kennen m ja gar nicht wir kennen nur A und B
- deswegen schauen wir wie wir über a und über B also mit nur mit diesen Informationen auch zu m kommen können vom Ursprung aus also wir wollen hier
- unten loslaufen und schauen wie kommen wir hier an diese Position nicht auf direkt Wege sondern mit einem kleinen Umweg dann können wir über a laufen denn
- die Koordinaten von A kennen wir wir können auch über B laufen wie ihr wollt ne die Koordinaten kennen wir auch aber lass uns einfach mal über a gehen also
- von 0 nach a können wir gehen denn wir kennen diese Koordinaten dann sind wir an der Stelle hier wie kommen wir jetzt dahin also wir wollen im Grunde einen
- neuen Pfeil dran hängen von da bis dahin was ist das von hier bis hier das ist die Hälfte von diesem ganzen Weg weil der Mittelpunkt liegt ja in der
- Mitte also diesen ganzen Weg von da hinten bis dahin den können wir doch auch berechnen dannn das wäre ja der verbindungsvektor von A nach B oder auch
- Richtungsvektor genannt die kann man ja berechnen wenn man von A nach B will ist das der verbindungsvektor von A nach B und den kann man berechnen wenn wir den
- also kennen würden dann kennen wir natürlich auch die Hälfte von diesem Vektor ne also um zum Mittelpunkt zu kommen würden wir nicht ganz ab laufen
- sondern eben nur die Hälfte von diesem ab Vektor den wir jetzt noch bestimmen müssen und das ist alles was wir machen müssen
- das heißt wenn wir es mal ganz kurz aufschreiben wie kommen wir zu m indem wir von hier loslaufen zuerst zu a gehen dann hängen wir einen neuen Pfeil dran
- und zwar genau an der Stelle und da kommt also immer wenn man einen neuen Pfeil dran hängt ist es eine Addition eine Vektoraddition an den Pall kommt
- dann der hier dran nämlich die Hälfte von ab also ihr merkt es ist natürlich aufwendiger am Anfang als einfach die Formel von eben aber ich mache das
- Prinzip hier ja jetzt ganz deutlich damit wir die zweiten und dritten Aufgaben die wir noch vor uns haben schneller hinbekommen
- so das einzige was uns jetzt noch fehlt ist dieser Richtungsvektor ab den müssen wir jetzt gerade erstmal noch bilden aber das ist ja auch kein Problem denn
- da ist es ja immer so wenn ihr eben diese zwei Buchstaben habt und den verbindungsvektor von diesen beiden Punkten bilden sollt dann ist es immer
- der hintere also das B- der vordere Punkt wir müssen also nur B- a rechnen damit wäre unser Richtungsvektor also was B- a ne 22 - 2
- wären 20 nächste Koordinate 6 - 6 wären 0 und 12--2 also 12 + 2 wären 14 das ist der Richtungsvektor von A nach B den
- brauchen wir hier so dann setzen wir alles ein a kennen wir 26- 2 + 1/b mal der Richtungsvektor von
- A nach B den wir schon gebildet haben den können wir hier einfach einsetzen und jetzt wird nur noch ausgerechnet und ich hoffe dass wir das im Kopf
- hinbekommen zeilenweise 2 + 1/ mal 20 Punkt vor Strich also ein/b mal 20 die Hälfte von 20 wären 10 + die 2 hier vorne sind 12 genauso hier 6 + 1/ x 0
- okay ein/ mal 0 ist schön dann bleiben da nur 6 übrig und -2 + 1/ mal 14 die Hälfte von 14 sind 7 - 2 dann das wären 5 12 6 5 ist doch genau das was wir hier
- okay zugermaßen einiges schneller rausatten aber dasselbe was wir eben jetzt hier nur durch unsere Anschauung und Vektoraddition hinbekommen haben und
- mit dieser Art und Weise gehen wir jetzt auch zu den nächsten Aufgaben weil dann wissen wir was wir tun und es hilft uns enorm für die Aufgaben die um einiges
- schwieriger dann noch später auf uns zukommen diesmal m ist der Mittelpunkt der Strecke ab wie eben auch aber bestimme die Koordinaten des Punktes B
- wir bekommen hier jetzt nämlich nur a und m also wie eben auch A und B soll die ganze Strecke sein m soll der Mittelpunkt sein aber diesmal ist a und
- m gegeben aber B ist unbekannt wir sollen also B finden die Koordinaten davon das heißt vom Ursprung aus wollen wir eigentlich zu B laufen können wir
- aber nicht weil wir B nicht kennen deswegen müssen wir gucken wie kommen wir von A und m wie kommen wir über die beiden dann hier hinten
- raus ja wir können z.B zuerst zu a laufen denn wir kennen die Koordinaten von A also wir müssen jetzt von hier irgendwie hier oben an die Spitze kommen
- wir laufen hierhin dann sind wir da was hängen wir dran was kennen wir überhaupt also jetzt kennen wir ja nur noch m also wir könnten den verbindungsvektor von A
- nach M bilden also das hier wäre am den könnten wir bilden weil wir haben a und m was bringt der uns denn weil dann sind wir erst hier in der Mitte na ja guter
- Hinweis Mitte ne dieses Stück dieses am wenn wir das einfach noch mal hinten dran setzen dann kommen wir auf jeden Fall da hinten an weil m war ja in der
- Mitte also wenn wir zweimal am hier lang laufen kommen wir auf jeden Fall hier bei B raus und das ist unser Plan also lass es uns mal aufschreiben wie kommen
- wir zu B indem wir zuerst nach a laufen okay die Koordinaten haben wir dann hängen wir neu PIL dran also da muss ein Plus hin dann wird am dran gehängt und
- noch mal am dran gehängt also wir können jetzt sagen das ist am + am so kann man das aufschreiben oder da wir einfach wissen dass wir zweimal hintereinander
- am dran hängen können wir auch direkt sagen zweimal eben diesen am Vektor das einzige was wir brauchen ist am aber das können wir doch super schnell bilden
- denn wir machen wieder einen Richtungsvektor von A nach M das heißt wie bildet man den indem man m- a rechnet das ist das Einzige was man sich
- hier bei den Aufgaben wirklich merken muss m - a also 7 - 5 wären 2 -1 - 2 wären -3 und 0--5 wären eben + 5 das ist unser
- Richtungsvektor wir setzen alles ein A ist eben 5 2- 5 + 2 und da kommt jetzt unser am Vektor
- rein nämlich 2- 3 5 und jetzt wird einfach nur noch ausgerechnet und dann haben wir B schon gefunden nämlich 5 + 2 x 2 2* 2 S 4 + 5 wären 9 2 -3 wären -6 +
- 2 wären -4 und 2 x 5 wären 10 +-5 wären 5 damit hätten wir die Koordinaten von unserem fehlenden Punkt B gefunden und wir kommen zu der letzten
- Aufgabenstellung die ähnlich ist aber wir können da eine kleine Variation reinbringen damit wir noch ein bisschen was lernen und testen ob wir das
- verstanden haben was wir hier tun diesmal sind B und m bekannt aber a sollen wir herausfinden okay das Notieren wir uns mal so zeichnen unseren
- Ursprung ein und wissen wir suchen vom Ursprung zu dem a diesen Vektor suchen jetzt was kennen wir wir kennen B und m also wir können B und m nutzen um zu a
- zu gelangen von hier unten müssen wir irgendwie hier oben hin wir können jetzt sagen okay dann laufe ich halt zuerst zu B das ist aber sehr ähnlich zu dem was
- wir eben gemacht haben deswegen lasass uns jetzt mal sagen hey wir kennen doch auch m lasst uns einfach mal Spaßes halber zuerst zu m laufen dann sind wir
- schon mal in der Mitte hier okay dann wie kommen wir jetzt hier zu a was ist das hier für ein Vektor von m nach a den können wir nicht bilden
- also das wäre der verbindungsvektor von m nach a weil a kennen wir ja gar nicht aber was wissen wir darüber der ist doch genauso lang wie der Vektor von B nach M
- ne also weil der hier ja in der Mitte liegt also von B nach M das wäre der Vektor BM ganz wichtig immer von wo ihr startet und wohin ihr geht also von B
- nach M das ist dieselbe Richtung wie von m nach und sie sind auch gleich lang weil m eben in der Mitte liegt das heißt ich kann diesen verbindungsvektor BM der
- im Grunde von hier nach hier zeigt den kann ich auch hier verwenden weil er in dieselbe Richtung zeigt und genauso lang ist das bedeutet von hier würde ich eben
- BM hier einfach noch mal dran hängen dann Land ich auch hier das bedeutet um bei a anzukommen würden wir wenn wir hier loslaufen zuerst zu m gehen in
- unserer Variation dann hängen wir einen neuen Pfeil dran also kommt plus hin und das ist der der im Grunde auch von B nach M zeigt also der BM Vektor den wir
- bilden können weil wir B und m haben und den basteln wir uns jetzt wir wissen ja wie BM finden wir indem wir m- B rechnen also man lernt wirklich
- einiges und die Sachen wiederholen sich auch das ist dann immer so schön dass man testen kann ob man es dann verstanden hat m- B 7 - 2 sind 5 3 - 1
- sind 2 und 6 - 5 sind 1 das ist unser verbindungsvektor und die basteln wir jetzt einfach zusammen m ist ja das können wir eigentlich im Kopf machen ne
- m + den da hinten also 7 + 5 wären 12 3 + 2 5 und 6 + 1 S 7 und damit hätten wir unseren fehlenden Punkt A gefunden dann hoffe ich dass es euch geholfen hat das
- Thema ein bisschen besser zu verstehen zu vertiefen falls ihr Fragen habt meldet euch in den Kommentaren ansonsten bis zum nächsten Video macht's gut
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