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Ableitung Grundlagen
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 39 Zeilen
- Was ist die Ableitung? Und noch wichtiger, wie macht man die Ableitung? Falls euch mindestens eine von den beiden Fragen beschäftigt, dann seid ihr
- hier genau richtig. [Musik]
- Toll wäre es überhaupt mal zu wissen, was zum Ersch ist eigentlich eine Ableitung? Wir fangen deshalb mal ganz vorne an, also fast. Jan ist mit Kumpels
- unterwegs. Sie fahren einen ziemlich krassen Berg hoch. Ja, da haben die Motoren ziemlich was zu schaffen. Aber warum denn? Logisch, weil es steil
- hochgt und nicht einfach Topf eben ist. Würde Janne Wasserwage nehmen, würde die ihm direkt den Mittelfinger zeigen, wenn sie könnte. Unmöglich, dass da die Blase
- in der Mitte bleibt. Aber wie steil ist denn steil eigentlich? Jan hat gerade erst eine Mattheklausur geschrieben, deshalb hat er noch voll die Mathte im
- Kopf und sieht den Berghang direkt als Funktion vor sich. Ihm fällt auf, die Steigung von der Funktion wird immer größer, je weiter sie nach rechts
- fahren. Kann er jetzt irgendwie ausrechnen, wie steil es genau da ist, wo sie gerade fahren? Ja, kann er mit der Ableitung, weil die Ableitung ist in
- Mathe die Steigung von der Funktion. Die gibt also an jeder Stelle an, wie steil es gerade ist. Schreiben tut man die mit dem gleichen Namen wie die Funktion, nur
- mit so einem Strich dran hier. Also F str eine kleine Sache am Rand. Wenn die Funktion höher wird, wenn man nach rechts geht, dann hat man eine positive
- Steigung. Werden die Funktionswerte kleiner, je weiter man nach rechts läuft, dann ist die Steigung negativ. Wichtig also immer, was macht die
- Funktion, wenn man nach rechts schaut auf der X-Achse? Ja, dann direkt zur zweiten Frage. Wie rechnet man die Ableitung denn überhaupt aus? Da gibt's
- mega geil feste Regeln. Wenn ihr die könnt, geht's immer gleich. Wir gucken uns jetzt mal die absoluten Basics an. Mehr Regeln gibt's dann in den nächsten
- Videos. Ein Beispiel ist z.B. 3x hoch 2. Die Funktion sieht so aus. Wenn man von links nach rechts geht, geht's erstmal runter, dann ist es bei der Null
- komplett flach und geht dann wieder hoch. Aber wie berechnet man jetzt die Steigung genau? Also die Ableitung f(x)? Die Regel ist, zuerst schaut man, welche
- Hochzahl beim Xen steht. Wäre hier die zwei, die schreibt ihr vor das X. Hä, aber da steht doch schon eine drei. Wenn wie hier eine Vorzahl vor dem X ist,
- dann lasst ihr die Zahl vor dem X stehen und nimmt die alte Hochzahl noch mal den ganzen. Jetzt macht man von dem X die Hochzahl ein kleiner. Dann kann man das
- noch zusammenfassen, damit schöner aussieht und so. X hoch 1 ist einfach X. Da braucht ihr die hoch 1 nicht immer dazu schreiben. Die Ableitung von 3x
- hoch 2 ist also 6x. Hier haben wir mal die beiden Funktionen nebeneinander gezeichnet. Links die normale Funktion und rechts die Ableitung. Man sieht gut,
- links von der Null geht es runter bei der normalen Funktion. Man würde also sagen, die Steigung ist hier minus. Die Steigung haben wir am rechten Bild
- eingezeichnet und Tatsache, die ist tatsächlich negativ. Es wird jetzt immer flacher im linken Bild, also die Steigung wird immer weniger Minus und
- stimmt wieder. Das sieht man auch im rechten Bild. Bei der Null ist es dann mal ganz kurz, sogar komplett flach. Die Steigung ist hier null. Passt auch
- wieder zum rechten Bild. Und wenn ihr noch nicht überzeugt seid, rechts geht's bei der normalen Funktion ja wieder hoch, also wird die Steigung immer
- größer. Auch das sieht man im rechten Bild. Verdammt leicht ist es, wenn die Funktion einfach was ohne x ist. Also z.B. f(x) = 5. Dann ist die Ableitung
- nämlich einfach 0. Macht doch Sinn. Die Funktion ist ja einfach die ganze Zeit flach, weil y egal für welches X immer 5 ist. hat also eine Steigung von 0. Noch
- mal zum Mitschreiben. Zuerst zieht man die Hochzahl vor. Wenn da schon eine Zahl steht, schreibt man sie einfach da davor und dann verringert man die
- Hochzahl. Wenn kein x in der Funktion vorkommt, dann ist die Ableitung 0. Zwei Sachen, auf die ihr jetzt noch achten müsst. Erstens, x ist ja x hoch 1. Gibt
- dann abgeleitet Hochzahl nach vorne, hochzahl -1. Gibt also insgesamt x hoch 0. x hoch 0, weil alles hoch 0 1 ist. Haben wir auch mal ein Video dazu
- gemacht, falls es jemanden interessiert. Heißt also x abgeleitet gibt 1. Noch eine wichtige Sache. 2x hoch -1 z.B. Da könnt ihr wieder das gleiche machen.
- Hochzahl ganz vorschreiben und um eins kleiner machen. Da sind wir jetzt bei einer Sache, die man oftmal in der Hektik falsch macht. -1 -1 gibt -2. Die
- Ableitung von 2x hoch -1 ist also -2x hoch -2. Jetzt kommt eine sauichtige Regel, wie man Summen ableitet. Wenn ihr z.B. die Funktion habt 3x hoch 2 + 5x +
- x hoo -1 + 2, dann leitet ihr alle Teile einzeln ab, die durch ein Plus abgetrennt sind und zählt die dann wieder zusammen. Ihr leitet also erst
- 3x² ab, dann schreibt ihr ein Plus. Jetzt leitet ihr die 5x ab. Wieder ein Plus noch x hoch -1 ableiten. Das letzte Plus und die Ableitung von 2. Den ersten
- Teil haben wir vorhin schon mal abgeleitet. Wieder die Hochzahl vorziehen, um eins kleiner machen. Die 5x könnt ihr genauso ableiten. X hoch 0
- dabei 1. Das zählt ihr gerade dazu. Ja, jetzt noch der dritte Teil. X hoch -1. Da zieht ihr wieder die Hochzahl vor und zieht dann von der Hochzahl 1 ab. Weil
- der vierte Teil eine Konstante ist ohne x gibt die einfach 0 abgeleitet. Das fasst ihr noch zusammen. Passt da auf das Vorzeichen und die Hochzahl vom
- dritten Teil auf. Die Ableitung habt ihr dann auch geschafft. Die ist 6x + 5 - x hoch -2. Wie immer gilt, drückt jetzt Pause, wenn es zu schnell ging und macht
- euch das klar. Bei Summen müsst ihr euch also merken, jeden Teil einzeln bleiten und dann wieder zusammensetzen. Nur aufpassen, macht die Vorzeichen richtig.
- Wenn euch das Video geholfen hat, sagt auch mal allen Kumpels von euch weiter. Wir sind raus. The Simple Gub and out. Bis dann. Haut rein und ciao.
Zum Nachlesen
PotenzregelDie Potenzregel ist in der Mathematik eine der Grundregeln der Differentialrechnung. Sie dient der Ermittlung der Ableitung von Potenzfunktionen.
SummenregelDie Summenregel ist eine grundlegende Ableitungsregel. Sie besagt: Sind zwei Funktionen u {\displaystyle u} {\displaystyle u} …
FaktorregelDie Faktorregel folgt direkt aus der Definition der Ableitung, kann aber auch als Spezialfall der Produktregel aufgefasst werden.
ProduktregelMit ihr wird die Ableitung eines Produktes von Funktionen aus den Ableitungen der einzelnen Funktionen berechnet. In Lagrange-Notation lautet die …