Messunsicherheit berechnen und richtig angeben

Du misst die Länge eines Tisches dreimal. Auch bei sorgfältiger Arbeit können sich die Werte unterscheiden. Gründe sind die Skalenteilung, ein anderer Startpunkt oder die Blickrichtung beim Ablesen.

Der Bestwert ist die beste Schätzung aus den Daten, bei einer Messreihe häufig der Mittelwert. Er ist kein exakt bekannter wahrer Wert.

Ein Zahlendreher oder eine ungeeignete Versuchsanordnung ist eine grobe Abweichung. Prüfe die Ursache und dokumentiere sie. Einen auffälligen Wert darfst du nicht allein wegen deiner Erwartung streichen; dafür brauchst du ein begründetes Kriterium.

Eine systematische Abweichung verschiebt Werte unter gleichen Bedingungen in dieselbe Richtung. Ein falsch eingestellter Nullpunkt am Kraftmesser ist ein Beispiel. Wiederholungen beseitigen sie nicht. Prüfe das Gerät, kalibriere es, ändere das Verfahren oder berücksichtige einen passenden Unsicherheitsbeitrag.

Zufällige Abweichungen wechseln unvorhersehbar in Betrag und Richtung. Reaktionszeit, Temperatur und letzte Anzeigestelle können schwanken. Wiederholungen machen die Streuung auswertbar.

Eine Typ-A-Bewertung nutzt statistische Daten aus Wiederholungen. Eine Typ-B-Bewertung nutzt andere Informationen, etwa Herstellerangaben, Kalibrierung, Skalenteilung, Erfahrungswerte oder Umgebungsbedingungen. A und B bezeichnen die Bewertung, nicht gute und schlechte Unsicherheiten.

Bei einer direkten Messung liest du die gesuchte Größe am Gerät ab. Bei einem Analoggerät ist die Hälfte der kleinsten Skalenteilung eine einfache schulische Abschätzung der Ablesegrenze. Bei einer Digitalanzeige kannst du ohne genauere Angabe eine Einheit der letzten Stelle ansetzen. Das ist noch keine statistisch bestimmte Standardunsicherheit. Hersteller- und Kalibrierangaben haben Vorrang.

Runde die Unsicherheit auf höchstens zwei von null verschiedene Ziffern. Runde dann den Bestwert auf dieselbe Dezimalstelle. Aus I=0{,}227459\,\mathrm{A} und u_I=0{,}0050\,\mathrm{A} wird:

I=(0{,}2275\pm0{,}0050)\,\mathrm{A}

Die absolute Unsicherheit u besitzt dieselbe Einheit wie die Messgröße. Bei einem von null verschiedenen Bestwert ist die relative Unsicherheit ihr Verhältnis zum Betrag des Bestwerts:

u_\mathrm{rel}=\frac{u}{|x|}

Als Prozentwert gilt:

u_\%=\frac{u}{|x|}\cdot100\,\%

Für F=(0{,}25\pm0{,}05)\,\mathrm{N} folgt als einfache Abschätzung 0{,}05\,\mathrm{N}/0{,}25\,\mathrm{N}=0{,}20, also 20\,\%.

Bei vergleichbaren unabhängigen Wiederholungen teilst du die Summe der Messwerte durch ihre Anzahl. So erhältst du den Mittelwert. Für die Stichprobenstandardabweichung quadrierst du die Abstände der Einzelwerte zum Mittelwert, addierst sie, teilst durch die Anzahl minus eins und ziehst die Wurzel. Sie beschreibt die Streuung der Einzelwerte. Die Standardunsicherheit des Mittelwerts erhältst du, indem du diese Standardabweichung durch die Wurzel aus der Anzahl teilst. Wenn die Messgröße x heißt, schreibst du dafür s_{\bar x}; der Balken kennzeichnet den Mittelwert.

Bei vergleichbaren unabhängigen Wiederholungen sinkt die statistische Unsicherheit des Mittelwerts im Modell ungefähr mit der Wurzel aus der Messzahl. Die Streuung der Einzelwerte und eine systematische Verschiebung verschwinden dadurch nicht. Ein Vertrauensbereich braucht zusätzlich einen Faktor passend zu Messzahl und Vertrauensniveau; das Niveau musst du nennen.

Für die Geschwindigkeit v=s/t misst du Weg und Zeit. Beide Unsicherheiten beeinflussen das berechnete Ergebnis.

Für s\ne0 und t\ne0 heißen die relativen Beiträge r_s=u_s/|s| und r_t=u_t/|t|. Bei unabhängigen, probabilistisch beschriebenen Eingangsgrößen werden sie quadratisch kombiniert:

u_v\approx|v|\sqrt{r_s^2+r_t^2}

Wenn Eingangsunsicherheiten sichere Größtwerte meinen, addierst du die relativen Beiträge konservativ:

u_v\approx|v|(r_s+r_t)

Die Wahl hängt von der Bedeutung der Eingangsunsicherheiten ab; die Regeln sind nicht austauschbar.

Vergleiche Ergebnisse zusammen mit ihren Unsicherheiten. Bilde zuerst aus x\pm u das rechnerische Intervall:

[x-u;\,x+u]

Für dieses Rechenbeispiel sei nahe der Erdoberfläche der Referenzwert g_\mathrm{ref}\approx9{,}81\,\mathrm{m/s^2} angenommen. Aus g_A=(9{,}83\pm0{,}01)\,\mathrm{m/s^2} folgt das Intervall [9{,}82;9{,}84]\,\mathrm{m/s^2}. Es enthält den Referenzwert nicht. Aus g_B=(9{,}78\pm0{,}05)\,\mathrm{m/s^2} folgt [9{,}73;9{,}83]\,\mathrm{m/s^2}; darin liegt der Referenzwert. Nach dieser einfachen Intervallregel ist B mit ihm verträglich, obwohl A den näheren Bestwert besitzt.

Ein Intervall aus einer Standardunsicherheit ist keine sichere Grenze für den wahren Wert. Überlappende Intervalle können auf Verträglichkeit hinweisen, beweisen aber keine Gleichheit. Für weitergehende Vergleiche beachtest du Verteilung, Vertrauensniveau, Messzahl und mögliche Abhängigkeiten.