Statistik & Wahrscheinlichkeit

Standardabweichung und Varianz berechnen

Wie misst du, wie stark Werte um ihren Mittelwert streuen – mit Varianz und Standardabweichung?

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Kurz erklärt

Die Standardabweichung beschreibt, wie stark Datenwerte um ihren Mittelwert streuen. Der Rechner addiert die quadrierten Abstände aller Werte zum Mittelwert und teilt durch ihre Anzahl n – das ist die Varianz. Ihre Quadratwurzel ist die Standardabweichung σ; sie hat wieder dieselbe Einheit wie die Daten. Sind die Werte nur eine Stichprobe aus einer größeren Menge, teilst du durch n − 1 und nennst das Ergebnis s. Im Diagramm zeigen die gestrichelten Linien x̄ − σ, x̄ und x̄ + σ: Je breiter der Streifen, desto stärker streuen die Werte.

Merke: Die Standardabweichung besitzt dieselbe Einheit wie die Daten, weil nach dem Quadrieren wieder die Wurzel gezogen wird.

So rechnest du selbst

\sigma = \sqrt{\frac{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \dots + (x_n - \bar{x})^2}{n}}

1Berechne den Mittelwert: Bei 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 ist \bar{x} = 40 : 8 = 5.
2Zieh von jedem Wert den Mittelwert ab und quadriere: (2 - 5)^2 = 9, (4 - 5)^2 = 1, … – zusammen 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32.
3Teile durch die Anzahl: Die Varianz ist \sigma^2 = 32 : 8 = 4. (Bei einer Stichprobe teilst du durch n - 1 = 7.)
4Zieh die Wurzel: \sigma = \sqrt{4} = 2. Die Werte weichen also im Schnitt etwa um 2 vom Mittelwert ab.

Typische Fehler

Wurzel vergessen: Bei 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 ist 4 die Varianz – die Standardabweichung ist \sqrt{4} = 2.
Abweichungen nicht quadriert: (2 - 5) + (4 - 5) + \dots + (9 - 5) ergibt immer 0 – die Abweichungen nach oben und unten heben sich auf. Erst das Quadrieren macht alle positiv.
n und n − 1 verwechselt: Bei 1, 3, 5, 7 ist \sigma^2 = 20 : 4 = 5 für alle Werte, aber s^2 = 20 : 3 \approx 6{,}67 für eine Stichprobe. Der Taschenrechner zeigt beides (\sigma_n und \sigma_{n-1} oder s).