Messfehler erkennen und Messwerte richtig angeben

Stell dir vor, ein Grenzwert liegt bei 400, gemessen wird 390. Nimm für dieses Beispiel an, dass \pm eine verlässlich bestimmte Höchstabweichung angibt. Ob der Grenzwert unterschritten ist, hängt dann von dieser Abweichung ab: Bei 390\pm1 liegt das ganze Intervall unter 400. Bei 390\pm20 reicht es von 370 bis 410. Daraus folgt keine sichere Entscheidung.

Die Unsicherheit ist kein Zeichen für eine misslungene Messung. Sie zeigt, wie genau die Aussage unter den gewählten Bedingungen ist.

Nicht alle Abweichungen werden gleich behandelt. Entscheidend ist ihre Ursache.

Eine Waage zeigt wegen eines falschen Nullpunkts bei jeder Messung 0{,}2\,\mathrm{kg} zu viel an. Das ist systematisch. Schwanken ihre Anzeigen zusätzlich leicht, ist diese Streuung zufällig. Ein erkannter Zahlendreher wäre dagegen ein grober Fehler: Du behebst die Ursache und wiederholst die Messung.

Ein zufälliger Fehler zeigt sich als Streuung wiederholter Werte. Schwankende Umgebungsbedingungen, wechselndes Ablesen oder unterschiedliche Auslösezeitpunkte können ihn verursachen. Wiederholungen helfen, diese Streuung zu untersuchen; eine gleichbleibende Verschiebung beseitigen sie nicht.

Schätze die Unsicherheit schon beim Messen ab. Prüfe Auflösung und Toleranz des Geräts, schwankende Anzeigen, Blickrichtung beim Ablesen, Aufbau und Umgebung sowie Herstellerangaben. Bei einer analogen Skala liegt die Ableseunsicherheit häufig in der Größenordnung eines halben kleinsten Skalenabstands. Bei einer Digitalanzeige ist mindestens die letzte angezeigte Stelle kritisch. Genauere Geräteangaben haben Vorrang.

Die absolute Unsicherheit \Delta x hat die Einheit des Messwerts. Bei einem Bestwert ungleich null hat die relative Unsicherheit \Delta x/|x| keine Einheit; für einen Prozentwert multiplizierst du mit 100\,\%.

Rechne zunächst mit genügend Stellen. Runde dann die Unsicherheit auf eine oder zwei geltende Ziffern und den Messwert auf dieselbe Dezimalstelle. Zu \Delta A=0{,}67\,\mathrm{cm^2} passt A=(5{,}22\pm0{,}67)\,\mathrm{cm^2}; gröber gerundet auch A=(5{,}2\pm0{,}7)\,\mathrm{cm^2}.

Bei vergleichbaren, voneinander unabhängigen Wiederholungen addierst du alle Messwerte und teilst durch ihre Anzahl. Das ergibt den Mittelwert. Die Standardabweichung beschreibt, wie stark die Einzelwerte um ihn streuen. Die statistische Unsicherheit des Mittelwerts, der Standardfehler, beschreibt dagegen die Genauigkeit des geschätzten Mittelwerts. Bei viermal so vielen unabhängigen Messungen ist dieser im Modell etwa halb so groß. Eine kurze Messreihe belegt noch keine Normalverteilung, und ein systematischer Fehler bleibt bestehen.

Wird eine Größe aus Messwerten berechnet, wirken deren Unsicherheiten auf das Ergebnis. Wähle zuerst das passende Unsicherheitsmodell.

Beim konservativen Größtfehler addierst du für z=x+y oder z=x-y die absoluten Beiträge:

\Delta z=\Delta x+\Delta y

Für z=xy oder z=x/y addierst du die relativen Beiträge als Näherung für kleine Unsicherheiten:

\frac{\Delta z}{|z|}\approx\frac{\Delta x}{|x|}+\frac{\Delta y}{|y|}

Für eine Potenz, etwa das Quadrat einer Länge, verdoppelt sich die relative Unsicherheit näherungsweise. Allgemein wird sie mit dem Betrag des Exponenten multipliziert.

Bei kleinen, unabhängigen statistischen Unsicherheiten addierst du statt der Beiträge ihre Quadrate und ziehst anschließend die Wurzel. Dabei zählt, wie empfindlich das Ergebnis auf jeden Eingangswert reagiert. Die lineare Rechnung schätzt eine ungünstige Abweichung näherungsweise ab; für eine strenge Grenze müssen bei Produkten auch höhere Terme betrachtet werden. Die beiden Regeln beantworten unterschiedliche Fragen.