Geladene Teilchen im Feld: Bahnen verstehen

Die Richtung eines elektrischen Feldes ist als Kraftrichtung auf eine positive Probeladung festgelegt. Auf ein Teilchen mit der Ladung q wirkt die elektrische Kraft

\vec F_{\mathrm{el}}=q\vec E

Dabei enthält q sein Vorzeichen: Bei q>0 zeigt die Kraft in Feldrichtung. Bei q<0 zeigt die Kraft entgegen der Feldrichtung.

Der Kraftbetrag ist F_{\mathrm{el}}=|q|E. Nach dem newtonschen Grundgesetz folgt

\vec a=\frac{q}{m}\vec E

Die Masse m bestimmt also mit, wie stark sich die Bewegung ändert. Der Quotient q/m heißt spezifische Ladung.

Bei einem Längsfeld bewegt sich das Teilchen parallel oder antiparallel zu den Feldlinien. In einem homogenen, zeitlich konstanten Feld ist die Kraft konstant. Deshalb ist auch die Beschleunigung konstant. Zeigen Geschwindigkeit und Kraft in dieselbe Richtung, wird das Teilchen schneller. Zeigen sie in entgegengesetzte Richtungen, wird es zunächst langsamer. Ein genügend lange wirkendes Gegenfeld kann das Teilchen zum Stillstand bringen und anschließend in die Gegenrichtung beschleunigen.

Wähle die positive y-Richtung entlang des Feldes. E ist der positive Feldstärkebetrag; v_0 ist die vorzeichenbehaftete Anfangsgeschwindigkeit in dieser Richtung. Dann gilt für die eindimensionale Bewegung:

v=v_0+\frac{qE}{m}t

y=v_0t+\frac{1}{2}\frac{qE}{m}t^2

Wird ein Teilchen aus der Ruhe durch die Beschleunigungsspannung U beschleunigt, erhält es im klassischen, nichtrelativistischen Modell den Geschwindigkeitsbetrag

v=\sqrt{\frac{2U|q|}{m}}

Hier ist U der positive Betrag der durchlaufenen Spannung und |q| der Ladungsbetrag. Die Formel für v ist ein klassisches Modell. Nähert sich die Geschwindigkeit der Lichtgeschwindigkeit, sind relativistische Korrekturen nötig.

Beim Querfeld tritt das Teilchen senkrecht zu den Feldlinien ein. Wähle die positive x-Richtung entlang der Anfangsgeschwindigkeit und die positive y-Richtung entlang des Feldes. E und v_0 sind positive Beträge; das Vorzeichen von q bestimmt die Ablenkungsrichtung. In x-Richtung bewegt es sich gleichförmig mit x=v_0t. In y-Richtung wird es gleichmäßig beschleunigt mit y=\frac{1}{2}\frac{qE}{m}t^2.

Setzt du t=x/v_0 in die zweite Gleichung ein, erhältst du

y=\frac{qE}{2mv_0^2}x^2

Da y proportional zu x^2 ist, entsteht eine Parabel. Das Vorzeichen von q entscheidet, zu welcher Seite sie geöffnet ist.

Eine magnetische Kraft wirkt nur auf bewegte Ladungen. Für ihren Betrag gilt

F_{\mathrm L}=|q|vB\sin(\alpha)

Dabei ist \alpha der Winkel zwischen Geschwindigkeit und magnetischer Flussdichte \vec B. Die Kraft steht senkrecht zur Geschwindigkeit und zum Magnetfeld.

Ihre Richtung lässt sich mit

\vec F_{\mathrm L}=q\left(\vec v\times\vec B\right)

bestimmen. Für eine positive Ladung zeigt sie in die Richtung des Kreuzprodukts \vec v\times\vec B; dafür kannst du die Rechte-Hand-Regel verwenden. Bei einer negativen Ladung zeigt die Kraft genau entgegengesetzt.

Daraus folgen drei wichtige Fälle: Ein ruhendes Teilchen erfährt keine magnetische Kraft. Bei einer Bewegung parallel zum Magnetfeld ist \alpha=0^\circ und damit F_{\mathrm L}=0. Bei senkrechtem Eintritt ist \alpha=90^\circ und die Kraft maximal.

Weil die magnetische Kraft stets senkrecht zur Bewegung wirkt, verrichtet sie keine Arbeit. Sie ändert die Richtung, aber nicht den Betrag der Geschwindigkeit.

Tritt ein Teilchen schräg in ein homogenes Magnetfeld ein, zerlegst du seine Geschwindigkeit: v_{\parallel}=v\cos(\alpha) ist die vorzeichenbehaftete Komponente entlang des Feldes. v_{\perp}=v\sin(\alpha) erzeugt eine Kreisbewegung um die Feldlinien. Der Winkel \alpha liegt zwischen Bewegungsrichtung und Magnetfeld.

Beide Bewegungen zusammen ergeben eine Schraubenbahn oder Helix. Im nichtrelativistischen Modell gelten für Radius und die positive Ganghöhe

r=\frac{mv\sin(\alpha)}{|q|B}

h=\frac{2\pi m|v\cos(\alpha)|}{|q|B}

Die Ganghöhe h ist die Strecke, die das Teilchen während einer vollständigen Kreisbewegung parallel zum Magnetfeld zurücklegt. Bei \alpha>90^\circ läuft es entgegen der Feldrichtung; der Betrag hält h positiv.

Im Wien-Filter stehen elektrisches Feld, Magnetfeld und Teilchengeschwindigkeit jeweils senkrecht zueinander. Die Felder sind so ausgerichtet, dass elektrische Kraft und magnetische Lorentzkraft entgegengesetzt wirken.

Für einen unabgelenkten Durchgang müssen die Kraftbeträge gleich sein:

|q|E=|q|vB

Nach dem Kürzen von |q| folgt

v=\frac{E}{B}

Diese Auswahlgeschwindigkeit hängt nicht von Masse und Ladungsbetrag ab. Teilchen mit anderer Geschwindigkeit werden abgelenkt, weil eine der beiden Kräfte überwiegt.