Oberfläche berechnen: Formeln und Beispiele

Ein Körpernetz zeigt die Oberfläche aufgeklappt in der Ebene. So siehst du leichter, welche Flächen vorkommen und welche gleich groß sind. Mit einem festen Ablauf schaffst du auch Körper, für die du keine fertige Formel kennst: Bestimme alle äußeren Teilflächen. Benenne ihre Formen, zum Beispiel Rechteck, Quadrat, Dreieck oder Kreis. Gruppiere gleich große Flächen und notiere ihre Anzahl. Berechne jede unterschiedliche Teilfläche. Addiere alle Teilflächen mit ihrer Häufigkeit. Prüfe zum Schluss Einheit, Vollständigkeit und ob das Ergebnis plausibel ist.

Ein Würfel besteht aus sechs gleich großen Quadraten. Hat jedes Quadrat die Seitenlänge a, gilt O=6a^2. Bei a = 4 cm ist O = 6 · (4 cm)² = 6 · 16 cm² = 96 cm². Ein Quader hat sechs Rechtecke. Je zwei gegenüberliegende Flächen sind gleich groß. Für die Kantenlängen a, b und c gilt O=2ab+2ac+2bc, gleichwertig O=2(ab+ac+bc).

Bei einem geraden Prisma sind Grund- und Deckfläche gleich groß. Die übrigen Flächen bilden zusammen den Mantel. Mit dem Grundflächeninhalt G, dem Umfang der Grundfläche U_G und der Körperhöhe h gilt M=U_G\cdot h und O=2G+M. Beim geschlossenen Zylinder sind Grund- und Deckfläche Kreise mit G=\pi r^2. Rollst du den Mantel ab, entsteht ein Rechteck mit der Höhe h und der Breite 2\pi r, also dem Kreisumfang: M=2\pi rh. Zusammen gilt O=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi r(r+h).

Bei einem offenen Körper darfst du eine fehlende Fläche nicht mitzählen. Am sichersten berechnest du zuerst die vollständige Oberfläche und ziehst dann die fehlende Fläche ab. Bei Verpackungen entspricht die mathematische Oberfläche nicht immer dem Materialbedarf: Klebelaschen, Überlappungen und Verschnitt brauchen zusätzliches Material. Einen Zuschlag rechnest du aber nur, wenn die Aufgabe dazu konkrete Angaben macht. Typische Fehler sind: eine verdeckte Außenfläche vergessen, dieselbe Fläche doppelt zählen, beim Quader gegenüberliegende Flächen übersehen, bei offenen Körpern die fehlende Fläche mitrechnen, Quadrat- und Kubikeinheiten verwechseln und beim Zylinder nur einen Kreis zählen.