Mathematik · Klasse 6–7 · aktualisiert
Punktsymmetrie erkennen, prüfen und konstruieren
Du erkennst punktsymmetrische Figuren, findest ihr Symmetriezentrum, spiegelst Punkte am Ursprung und prüfst Funktionsgraphen auf Symmetrie.
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Kurz gesagt
Eine Figur ist punktsymmetrisch, wenn sie nach einer Drehung um 180° um ihr Symmetriezentrum wieder genauso aussieht. Das Zentrum halbiert jede Strecke zwischen einem Punkt und seinem Bildpunkt. Parallelogramm, Rechteck und Kreis sind punktsymmetrisch, ein Dreieck nicht.
Eine Figur ist punktsymmetrisch, wenn sie nach einer Drehung um 180° um einen festen Punkt wieder genauso aussieht. Dieser Punkt heißt Symmetriezentrum. Du lernst, Punktsymmetrie zu erkennen, das Zentrum zu prüfen und Bildpunkte zu konstruieren. In einer Vertiefung untersuchst du auch Funktionsgraphen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Rechteck, Quadrat, Raute und Parallelogramm sind punktsymmetrisch. Ihr Symmetriezentrum liegt im Schnittpunkt der Diagonalen. Ein Kreis ist zu seinem Mittelpunkt punktsymmetrisch. Ein Dreieck ist nicht punktsymmetrisch. Punktsymmetrie und Achsensymmetrie sind nicht dasselbe: Bei der Punktsymmetrie drehst du um einen Punkt. Bei der Achsensymmetrie spiegelst du an einer Geraden. Eine Figur kann beide Symmetriearten besitzen. Das gilt beispielsweise für ein Quadrat.
Definition
Punktsymmetrie
Eine Figur ist punktsymmetrisch, wenn eine Drehung um 180° um ihr Symmetriezentrum die Figur auf sich selbst abbildet. Ausgangsfigur und gedrehte Figur sind dann deckungsgleich.
Merke: Halbe Drehung um einen Punkt: Punktsymmetrie. Spiegelung an einer Geraden: Achsensymmetrie.
Teste dich
Zu jedem Punkt A einer punktsymmetrischen Figur gehört ein Bildpunkt A'. Für das Symmetriezentrum S gelten zwei Bedingungen: A, S und A' liegen auf einer Geraden. A und A' haben denselben Abstand von S. Damit ist S der Mittelpunkt der Strecke zwischen A und A'. Ein einziges passendes Punktepaar beweist die Punktsymmetrie einer ganzen Figur noch nicht. Du musst prüfen, ob die Bedingung für alle charakteristischen Punkte gilt. Bei einem Vieleck untersuchst du dazu insbesondere seine Ecken.
Beispiel: Das Symmetriezentrum eines Parallelogramms
- 1Verbinde gegenüberliegende Ecken durch die Diagonalen.
- 2Die Diagonalen schneiden sich in S und werden dort halbiert.
- 3Eine Drehung um 180° um S vertauscht gegenüberliegende Ecken.
- 4Also ist S das Symmetriezentrum.
Teste dich
Bei einer Punktspiegelung bildest du jeden Punkt auf die gegenüberliegende Seite des Zentrums ab. Das Zentrum bleibt dabei der Mittelpunkt zwischen Ausgangs- und Bildpunkt. Zeichne eine Gerade durch A und S, miss den Abstand zwischen A und S und trage ihn von S aus auf der Gegenseite ab. Dort liegt A'. Im Koordinatensystem ist der Ursprung O(0|0) ein besonders einfaches Spiegelzentrum. Bei der Spiegelung am Ursprung wechseln beide Koordinaten ihr Vorzeichen: A(x|y) \rightarrow A'(-x|-y)
Beispiel: A liegt 3 cm links von S
- 1A' liegt auf derselben Geraden 3 cm rechts von S.
- 2S ist der Mittelpunkt der Strecke zwischen A und A'.
Beispiel: Das Viereck A(1|0), B(2|3), C(3|-1), D(-1|-1) am Ursprung spiegeln
- 1A'(-1|0) und B'(-2|-3)
- 2C'(-3|1) und D'(1|1)
- 3Bei B(2|3) werden 2 Einheiten rechts zu 2 Einheiten links und 3 Einheiten oben zu 3 Einheiten unten.
Merke: Bei einer Punktspiegelung bleiben Form und Größe erhalten. Die Figur wird um 180° um das Zentrum gedreht.
Teste dich
Diesen Teil brauchst du erst später, wenn du Funktionen und ihre Graphen untersuchst. Ein Funktionsgraph ist zum Ursprung punktsymmetrisch, wenn für alle zulässigen Werte von x gilt: f(-x)=-f(x) So prüfst du die Bedingung: Ersetze in f(x) jedes x durch -x und vereinfache. Setze ein Minus vor den gesamten Funktionsterm und vereinfache. Vergleiche f(-x) mit -f(x). Bei einem ganzrationalen Funktionsterm kannst du häufig schneller entscheiden: Kommen nur ungerade Potenzen von x und kein konstantes Glied vor, ist der Graph zum Ursprung punktsymmetrisch. Eine gerade Potenz oder eine Konstante erfüllt dieses Schnellkriterium nicht. Das Schnellkriterium ersetzt bei anderen Funktionsarten keine Prüfung. Die Gleichung f(-x)=-f(x) muss für alle zulässigen Werte gelten.
Beispiel: Ist der Graph von f(x)=x^3-2x punktsymmetrisch zum Ursprung?
- 1f(-x)=(-x)^3-2(-x)=-x^3+2x
- 2-f(x)=-(x^3-2x)=-x^3+2x
- 3Beide Terme stimmen überein. Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Punktsymmetrie
Erkennen
halbe Drehung ergibt Deckungsgleichheit
Zentrum
halbiert jede Punkt-Bildpunkt-Strecke
Konstruieren
Abstand auf die Gegenseite übertragen
Koordinaten
am Ursprung beide Vorzeichen wechseln
Abgrenzen
Achsensymmetrie nutzt eine Spiegelgerade
Funktionen
f(-x) mit -f(x) vergleichen
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Ist das Viereck A(-2|-1), B(3|-1), C(2|1), D(-3|1) punktsymmetrisch zum Ursprung?
- 1Spiegle jede Ecke am Ursprung: Beide Vorzeichen wechseln.
- 2A(-2|-1) \rightarrow A'(2|1), das ist C.
- 3B(3|-1) \rightarrow B'(-3|1), das ist D.
- 4Ebenso wird C zu A und D zu B.
- 5Jede Ecke landet auf einer Ecke: Das Viereck ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
Fehler finden
Spiegle das Dreieck A(1|2), B(4|1), C(2|-3) am Ursprung. In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Bei B hat nur die erste Koordinate ihr Vorzeichen gewechselt. Richtig ist B'(-4|-1).
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Bei der Spiegelung am Ursprung wechselt ihr Vorzeichen. Das Zentrum liegt in der zwischen Ausgangs- und Bildpunkt. Ein Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn für alle x gilt: f(-x) ist gleich .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback