Mathematik · Klasse 6–7 · aktualisiert
Punktspiegelung einfach konstruieren und prüfen
Du spiegelst Punkte und Figuren an einem Punkt, mit Geodreieck oder Zirkel, und prüfst deine Konstruktion mit drei kurzen Fragen.
0 von 10 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Bei einer Punktspiegelung am Punkt S liegt der Bildpunkt P' auf der Geraden durch P und S, auf der anderen Seite von S und genauso weit von S entfernt wie P. S ist also der Mittelpunkt der Strecke \overline{PP'}. Die Spiegelung entspricht einer Drehung um 180°.
Bei einer Punktspiegelung liegt der Bildpunkt auf der gegenüberliegenden Seite des Spiegelpunkts – auf derselben Geraden und im gleichen Abstand. So kannst du einzelne Punkte und ganze Figuren spiegeln und deine Konstruktion selbst prüfen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Der feste Punkt, an dem gespiegelt wird, heißt Spiegelpunkt oder Spiegelzentrum. Wir bezeichnen ihn hier mit S. Diese Bedingungen gehören zusammen: P, S und P' liegen auf einer Geraden. Der Spiegelpunkt S liegt zwischen P und P'. Die Abstände SP und SP' sind gleich groß. Das Apostroph in P' wird „P Strich“ gesprochen. Es kennzeichnet den Bildpunkt.
Definition
Bildpunkt
Der Bildpunkt P' gehört zum Originalpunkt P. Die drei Punkte P, S und P' liegen auf einer Geraden. Dabei liegt S zwischen P und P', und beide Punkte haben denselben Abstand zu S.
Merke: Der Spiegelpunkt ist der Mittelpunkt der Strecke zwischen einem Punkt und seinem Bildpunkt.
Teste dich
Spiegle eine Figur Punkt für Punkt. Mit dem Geodreieck zeichnest du eine Gerade durch den Originalpunkt und S, misst den Abstand zu S und trägst ihn auf der gegenüberliegenden Seite von S ab. Den Bildpunkt benennst du mit einem Apostroph. Mit Zirkel und Lineal überträgst du den Abstand, ohne eine Maßzahl abzulesen. Der Kreis um S sorgt für den gleichen Abstand, die Gerade dafür, dass Originalpunkt, Spiegelpunkt und Bildpunkt auf einer Linie liegen. Als Bildpunkt wählst du den Schnittpunkt auf der gegenüberliegenden Seite, nicht erneut P.
Beispiel: Mit dem Geodreieck: A liegt 4 cm von S entfernt
- 1Zeichne die Gerade durch A und S.
- 2Miss von S aus auf der anderen Seite 4 cm ab.
- 3Markiere dort A'.
- 4Prüfe: A, S und A' liegen auf einer Geraden, beide Abstände zu S sind 4 cm.
Beispiel: Mit Zirkel und Lineal
- 1Zeichne die Gerade durch P und S, weit über S hinaus.
- 2Setze die Zirkelspitze in S und öffne den Zirkel bis P.
- 3Zeichne einen Kreisbogen um S.
- 4Der zweite Schnittpunkt mit der Geraden ist P'.
Teste dich
Eine Figur wird nicht als Ganzes verschoben. Du spiegelst jeden Eckpunkt einzeln und verbindest anschließend die zugehörigen Bildpunkte. Für ein Dreieck ABC konstruierst du A' aus A, B' aus B und C' aus C und verbindest A', B' und C' zum Bilddreieck. Das Bilddreieck A'B'C' hat dieselbe Form und Größe wie ABC. Beide Dreiecke sind deckungsgleich: Durch geeignetes Bewegen können sie genau zur Deckung gebracht werden. Bei einer Punktspiegelung bleiben die Anzahl der Ecken, die Längen zugehöriger Strecken, die Größen zugehöriger Winkel und damit Form und Größe der Figur erhalten. Die Punktspiegelung entspricht außerdem einer Drehung um 180^\circ um das Spiegelzentrum. Der Spiegelpunkt selbst wird dabei auf sich selbst abgebildet.
Merke: Eine korrekte Bildfigur ist deckungsgleich mit dem Original. Veränderte Seitenlängen oder Winkel zeigen einen Konstruktionsfehler.
Teste dich
Prüfe jede Konstruktion mit drei kurzen Fragen: Liegen Originalpunkt, Spiegelpunkt und Bildpunkt auf einer Geraden? Liegt der Spiegelpunkt zwischen Originalpunkt und Bildpunkt? Sind beide Abstände zum Spiegelpunkt gleich groß? Typische Fehler sind: Der Bildpunkt wird auf der falschen Seite markiert. Der Abstand wird vom Originalpunkt statt vom Spiegelpunkt aus abgetragen. Nur der gleiche Abstand wird geprüft, nicht die gemeinsame Gerade. Bei einer Figur werden Bildpunkte in der falschen Reihenfolge verbunden. Der Zirkelradius verändert sich während der Übertragung eines Abstands.
Beispiel: Ein vermeintlicher Bildpunkt B' wird geprüft
- 1Es gilt SB=SB'.
- 2Aber B, S und B' liegen nicht auf einer Geraden.
- 3Also ist B' nicht der Bildpunkt von B bei der Spiegelung an S.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Punktspiegelung
Spiegelzentrum
S bleibt an seinem Platz
Punkt und Bildpunkt
gemeinsame Gerade, gleicher Abstand zu S, S liegt dazwischen
Konstruktion
mit Geodreieck messen oder mit Zirkel den Abstand übertragen
Bildfigur
Bildpunkte passend verbinden, deckungsgleich zum Original
Eigenschaften
Längen und Winkel bleiben erhalten, wie bei einer Drehung um 180^\circ
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Spiegle das Dreieck ABC am Punkt S.
- 1Zeichne die Gerade durch A und S.
- 2A liegt 3 cm von S entfernt, also misst du auf der anderen Seite von S ebenfalls 3 cm ab: A'.
- 3Genauso konstruierst du B' aus B und C' aus C.
- 4Verbinde A', B' und C' in derselben Reihenfolge wie A, B und C.
- 5Prüfe: Das Bilddreieck A'B'C' ist deckungsgleich zu ABC.
Fehler finden
Spiegle P mit Zirkel und Lineal am Punkt S. In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Die Zirkelspitze gehört in den Spiegelpunkt S, nicht in P. Nur dann hat P' denselben Abstand zu S wie P. Richtig: Kreisbogen um S zeichnen und den Schnittpunkt auf der anderen Seite als P' markieren.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Bei der Punktspiegelung liegen P, S und P' auf einer . Der Spiegelpunkt S liegt P und P'. Längen und Winkel werden dabei .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback