Diagonale berechnen: Rechteck, Quadrat und Quader

Bei einem Vieleck sind zwei Ecken benachbart, wenn eine Seite sie direkt verbindet. Verbindest du zwei nicht benachbarte Ecken, entsteht eine Diagonale. Ein Viereck hat zwei Diagonalen. Im Rechteck und im Quadrat sind sie gleich lang und halbieren einander. Beim Quadrat stehen sie zusätzlich senkrecht aufeinander, beim gewöhnlichen Rechteck nicht. Wie viele Diagonalen hat ein Vieleck mit n Ecken? Von jeder Ecke aus gehen Diagonalen zu n-3 Ecken: Die Ecke selbst und ihre beiden Nachbarecken scheiden aus. So zählst du aber jede Diagonale zweimal, einmal von jedem Ende aus. Deshalb teilst du durch 2: N_D=\frac{n(n-3)}{2}. Dabei ist N_D die Anzahl der Diagonalen.

Die Diagonale teilt ein Rechteck in zwei rechtwinklige Dreiecke. Die Seiten a und b sind die Katheten, die Diagonale d ist die Hypotenuse. Nach dem Satz des Pythagoras gilt d^2=a^2+b^2. Ziehst du die positive Wurzel, erhältst du d=\sqrt{a^2+b^2}. Die Einheit passt: Aus der Wurzel von Quadratzentimetern werden wieder Zentimeter. Beim Quadrat sind beide Seiten gleich lang, also a=b. Dann vereinfacht sich die Formel: d=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2a^2}=a\sqrt2.

Eine Flächendiagonale liegt ganz auf einer Seitenfläche eines Körpers. Beim Quader berechnest du sie wie die Diagonale eines Rechtecks. Eine Raumdiagonale verläuft durch das Innere des Körpers. Sie verbindet zwei gegenüberliegende Ecken, die weder durch eine Kante noch durch eine Flächendiagonale verbunden sind. Für einen Quader mit den Kanten a, b und c gilt d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}. Die Formel entsteht durch zweimal Pythagoras: Zuerst berechnest du die Flächendiagonale des Bodens aus a und b. Sie bildet dann mit der Kante c ein zweites rechtwinkliges Dreieck. Beim Würfel sind alle drei Kanten gleich lang. Mit a=b=c folgt d=\sqrt{3a^2}=a\sqrt3.

Kennst du die Diagonale eines Rechtecks und eine Seite, stellst du den Satz des Pythagoras um. Aus d^2=a^2+b^2 wird für die gesuchte Seite b=\sqrt{d^2-a^2}. Beim Quadrat löst du d=a\sqrt2 nach a auf: a=\frac{d}{\sqrt2}. Für d=4\,\mathrm{cm} erhältst du a=\frac{4}{\sqrt2}\,\mathrm{cm}\approx2{,}83\,\mathrm{cm}. Wichtig: Die Formel d=\sqrt{a^2+b^2} gilt nur, weil die Seiten eines Rechtecks einen rechten Winkel bilden. Für ein beliebiges Viereck darfst du sie nicht ungeprüft verwenden.