Ternärsystem

Grundidee des Ternärsystems

Das Ternärsystem (auch 3-adisches System oder Dreiersystem) ist ein Stellenwertsystem zur Basis 3. Der Wert jeder Stelle entsteht aus einer Ziffer multipliziert mit einer Potenz von 3: …, 3³, 3², 3¹, 3⁰ sowie bei Nachkommastellen 3⁻¹, 3⁻² usw. Es ist wichtig, weil es zeigt, dass Zahlen nicht nur im Dezimalsystem zur Basis 10 oder im Binärsystem zur Basis 2 dargestellt werden können.

Es gibt drei Spielarten: das gewöhnliche Ternärsystem mit 0, 1 und 2, das balancierte Ternärsystem mit 0, 1 und −1 sowie das eher theoretische negaternäre System mit Basis −3 und den Ziffern 0, 1 und 2. Eine ternäre Ziffer heißt Trit, entsprechend dem Bit im Binärsystem; sechs Trits bilden ein Tryte. Der 1958 in der Sowjetunion entwickelte Computer Setun rechnete mit ternären Zahlen.

Gewöhnliche ternäre Zahlen

Im gewöhnlichen Ternärsystem dürfen nur die Ziffern 0, 1 und 2 vorkommen. Zur Unterscheidung von Dezimalzahlen wird die Basis tiefgestellt notiert, etwa [112]₃. Diese Zahl bedeutet

[112]₃ = 1·3² + 1·3¹ + 2·3⁰ = 1·9 + 1·3 + 2·1 = [14]₁₀.

Allgemein gilt für eine Ternärzahl:

Z = ∑ᵢ₌₋ₙᵐ zᵢ·3ⁱ.

Dabei ist zᵢ die Ziffer an Stelle i und somit 0, 1 oder 2; n ist die Anzahl der Nachkommastellen, m die Nummer der höchsten Stelle und Z der Zahlenwert. Beispiele sind 12₃ = 5, 112₃ = 14 und 121₃ = 16.

Jede Stelle gibt an, wie oft ihre Potenz von 3 gezählt wird. Beispielsweise steht eine 2 in der 3er-Stelle für 2·3, eine 1 in der 27er-Stelle für 1·27. Die Ergebnisse werden addiert. Führende Nullen, also Nullen links von der ersten 1 oder 2, schreibt man üblicherweise nicht mit. So entsprechen unter anderem 32₁₀ = 1012₃, 46₁₀ = 1201₃, 7₁₀ = 21₃ und 3₁₀ = 10₃.

Balancierte Darstellung

Das balancierte Ternärsystem verwendet die Ziffern 0, 1 und −1. Die Ziffer −1 wird durch eine überstrichene 1 dargestellt; alternativ sind T oder eine um 180° gedrehte 1 möglich. Bei möglicher Verwechslung wird die Basis als 3bal tiefgestellt.

Ein Vorteil ist, dass kein separates Vorzeichen nötig ist: Um eine Zahl zu negieren, vertauscht man alle 1 mit überstrichenen 1 und umgekehrt; Nullen bleiben erhalten. Das Vorzeichen sgn einer Zahl entspricht ihrer höchstwertigen ternären Ziffer. So wird beispielsweise die Darstellung mit den Stellen 1, −1, 0 berechnet als 1·3² + (−1)·3¹ + 0·3⁰ = 9 − 3 = 6.

Genau Zahlen der Form „ganze Zahl plus 1/2 mal eine Potenz von 3“ besitzen zwei Darstellungen. Als Beispiel wird 1/2 durch zwei periodische balanciert-ternäre Darstellungen angegeben. Im Unterschied zu gewöhnlichen Stellenwertsystemen zur Basis b haben hier nicht die abbrechenden Darstellungen zwei Schreibweisen: Es sind die Brüche (ℤ ± 1/2)3^ℤ = ℤ3^ℤ ± 1/2, deren Darstellung nicht abbricht. Nach Knuth sind in balancierten Systemen Runden und Abschneiden dieselbe Operation mit demselben Ergebnis. Auch der Setun beruhte auf balanciertem Ternärsystem und balancierter ternärer Logik.

Vergleich und ternärer Komma-Code

Im Vergleich der Zahlendarstellungen gilt beispielsweise: 2₁₀ = 10₂ = 2₃ = 11₃bal, 5₁₀ = 101₂ = 12₃ = 111₃bal und 9₁₀ = 1001₂ = 100₃ = 100₃bal. Balancierte ternäre Zahlen können negative Werte ohne vorangestelltes Minuszeichen ausdrücken: −5 wird dort durch die Negation der Darstellung von 5 geschrieben.

Für einen Ternärcode mit Komma wird jede ternäre Ziffer durch zwei Binärziffern codiert, zum Beispiel 0 := 00, 1 := 10 und 2 := 01. Die sonst nicht verwendete Kombination 11 dient als Trennzeichen („Komma“) zwischen zwei nicht-negativen Zahlen. Die Folge 1, 3, 7 ergibt dabei die Zeichenkette 1011001011100111. Die einzelnen Codewörter sind variabel lang und little-endian notiert.

Bei angenommener geometrischer Verteilung 1/(1+n)^q der natürlichen Zahlen n ∈ ℕ₀ gilt für diesen ternären Komma-Code q = log₃(4) ≈ 1,26.