Symmetrischer Raum

Grundidee und Definition

Symmetrische Räume sind in der Mathematik zusammenhängende Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit besonders vielen Symmetrien. Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit ist ein Raum, auf dem man Längen, Winkel und Abstände lokal wie in der Differentialgeometrie messen kann. Symmetrische Räume sind wichtig in Geometrie und Topologie und werden unter anderem in Darstellungstheorie, harmonischer Analysis, Zahlentheorie, Modulformen und Physik verwendet.

Eine zusammenhängende Riemannsche Mannigfaltigkeit M heißt symmetrischer Raum, wenn es zu jedem Punkt x in M eine Spiegelung an x gibt. Das bedeutet: Es existiert eine Isometrie S_x: M → M, also eine abstandserhaltende Abbildung, mit S_x(x)=x. Außerdem muss für das Differential in x gelten: d_xS_x = -Id, also d_xS_x(v) = -v für alle Tangentialvektoren v ∈ T_xM. Anschaulich kehrt die Spiegelung in x alle Richtungen im Tangentialraum um, während der Punkt x selbst fest bleibt.

Geodäten, lokale Symmetrie und homogene Darstellung

Eine Geodäte ist eine Kurve, die lokal den kürzesten Weg beschreibt, zum Beispiel eine Gerade im euklidischen Raum oder ein Großkreis auf der Sphäre. Ist γ: R → M eine Geodäte mit γ(0)=x, dann folgt aus d_xS_x = -Id die Beziehung S_x(γ(t)) = γ(-t) für alle t ∈ R. Die Spiegelung an x vertauscht also auf jeder durch x laufenden Geodäte die beiden Richtungen.

Umgekehrt kann man in jeder Riemannschen Mannigfaltigkeit lokal, also in einer hinreichend kleinen Umgebung U eines Punktes x, eine geodätische Spiegelung S_x: U → U durch S_x(γ(t)) = γ(-t) definieren. Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit heißt lokal symmetrisch, wenn diese Abbildung auf ihrem Definitionsbereich eine Isometrie ist. Sie ist ein symmetrischer Raum, wenn S_x eine Isometrie ist und auf ganz M definiert werden kann.

Jeder symmetrische Raum ist ein homogener Raum. Das heißt, er kann in der Form G/H beschrieben werden, wobei G eine zusammenhängende Lie-Gruppe ist und H ⊂ G eine kompakte Untergruppe. Die Riemannsche Metrik ist dabei unter der Links-Wirkung von G invariant. Cartan beschreibt symmetrische Räume mithilfe einer Involution σ: G → G mit σ² = Id. Wenn (G^σ)_0 ⊂ H ⊂ G^σ gilt, wobei G^σ die Fixpunkte von σ und (G^σ)_0 die Zusammenhangskomponente des neutralen Elements bezeichnet, dann trägt M=G/H eine G-invariante Riemannsche Metrik g, und (M,g) ist ein symmetrischer Raum. Die Abbildung σ heißt Cartan-Involution.

Cartan-Zerlegung

Für einen symmetrischen Raum M=G/K mit Cartan-Involution σ betrachtet man die Lie-Algebren g und k von G und K. Das Differential θ=d_0σ: g → g erfüllt θ²=1. Daher sind +1 und -1 die einzigen Eigenwerte. Der Eigenraum zum Eigenwert +1 ist k. Der Eigenraum zum Eigenwert -1 heißt p und entspricht dem Tangentialraum an G/K im Punkt [e]. Damit erhält man die Zerlegung g = k + p.

Diese Zerlegung erfüllt die Kommutatorbeziehungen [k,k] ⊆ k, [k,p] ⊆ p und [p,p] ⊆ k. Sie drücken aus, wie die beiden Teile der Lie-Algebra miteinander wechselwirken. Mit der Killing-Form B wird außerdem die Form B_θ(X,Y):=B(X,θY) definiert; sie ist positiv semidefinit.

Umgekehrt führt eine Zerlegung g = k + p mit diesen Eigenschaften wieder zu einer Involution θ auf g, die auf k den Wert +1 und auf p den Wert -1 hat. Ist G die einfach zusammenhängende Lie-Gruppe mit Lie-Algebra g, dann gibt es zu θ eine Involution σ: G → G mit θ=d_0σ. Daraus entsteht ein symmetrischer Raum M=G/K. Ein Beispiel ist sl(n,C)=su(n)⊕p mit p={A∈sl(n,C): A=Ā^t}; dies ist eine Cartan-Zerlegung.

Typen, Produkte und Krümmung

Symmetrische Räume werden nach Eigenschaften ihrer Lie-Algebra in drei Grundtypen eingeteilt. Ein symmetrischer Raum M=G/K ist von kompaktem Typ, wenn die Killing-Form auf g negativ semidefinit ist. Er ist von euklidischem Typ, wenn p abelsch ist, also wenn die Elemente von p miteinander kommutieren. Er ist von nichtkompaktem Typ, wenn die Killing-Form auf g nicht ausgeartet, aber nicht negativ semidefinit ist und g=k⊕p eine Cartan-Zerlegung ist. In diesem Fall ist G halbeinfach und K⊂G eine maximal kompakte Untergruppe.

Beispiele für diese Typen sind: Die Sphäre S^n=SO(n+1)/SO(n) ist von kompaktem Typ. Der euklidische Raum und der n-dimensionale Torus sind von euklidischem Typ. Der hyperbolische Raum H^n=SO(n,1)/SO(n) ist von nichtkompaktem Typ; ebenso SL(n,R)/SO(n) und SL(n,C)/SU(n).

Ein symmetrischer Raum heißt irreduzibel, wenn er sich nicht als Produkt zweier nichttrivialer symmetrischer Räume zerlegen lässt. Andernfalls heißt er reduzibel. Jeder symmetrische Raum lässt sich als Produkt irreduzibler symmetrischer Räume von kompaktem, euklidischem und nichtkompaktem Typ zerlegen.

Auch die Schnittkrümmung passt zu diesen Typen. Symmetrische Räume von kompaktem Typ haben Schnittkrümmung ≥ 0. Symmetrische Räume von euklidischem Typ haben Schnittkrümmung 0. Symmetrische Räume von nichtkompaktem Typ haben Schnittkrümmung ≤ 0. Symmetrische Räume von nichtkompaktem Typ sind außerdem CAT(0)-Räume und zusammenziehbar.

Dualität und Rang

Zwischen symmetrischen Räumen von kompaktem und nichtkompaktem Typ gibt es eine Dualität. Ein symmetrischer Raum M=G_1/K mit g_1=k⊕p ist genau dann von kompaktem Typ, wenn der symmetrische Raum M=G_2/K mit g_2=k⊕ip⊂g⊗C von nichtkompaktem Typ ist. Diese beiden symmetrischen Räume heißen dual zueinander. Zu einem gegebenen symmetrischen Raum von nichtkompaktem Typ G/K wird das kompakte Dual mit G^u/K bezeichnet. Beispiele: Der hyperbolische Raum ist dual zur Sphäre. Außerdem ist SL(n,R)/SO(n) dual zu (SO(n)×SO(n))/SO(n)=SO(n).

Der Rang eines symmetrischen Raumes M misst die größte Dimension eines Unterraums, auf dem die Schnittkrümmung verschwindet. Er ist definiert durch rk(M):=max{dim(F): F⊂T_xM, x∈M, sec|_F≡0}. Dabei bezeichnet sec die Schnittkrümmung. Beispiel: rk(SL(n,R)/SO(n))=n-1.

Die nichtkompakten symmetrischen Räume mit rk(M)=1 sind genau R^1, die reell-hyperbolischen Räume SO(n,1)/SO(n), die komplex-hyperbolischen Räume SU(n,1)/SU(n), die quaternionisch-hyperbolischen Räume Sp(n,1)/Sp(n) und die Cayley-hyperbolische Ebene F_4^{-20}/Spin(9). Die kompakten symmetrischen Räume vom Rang 1 sind genau die Sphären, die reellen projektiven Räume, die komplexen projektiven Räume, die quaternionischen projektiven Räume und die Cayley-projektive Ebene.

Wichtige Beispiele und Klassifikation

Typische Beispiele zeigen die Definition anschaulich. Der euklidische Raum R^n ist ein symmetrischer Raum; die Spiegelung an x ist S_x(y)=2x-y. Die Einheitssphäre S^n⊂R^{n+1} ist ebenfalls symmetrisch: Für x,y∈S^n ist S_x(y) der eindeutig bestimmte Punkt auf dem Großkreis durch x und y, der denselben Abstand von x hat wie y und, sofern x und y nicht antipodal sind, nicht gleich y ist. Auch Lie-Gruppen mit bi-invarianter Metrik sind symmetrische Räume; dort ist die Spiegelung S_g(h)=gh^{-1}g.

Es gibt eine vollständige Klassifikation symmetrischer Räume. Für kompakte symmetrische Räume wird sie über irreduzible Faktoren angegeben, in die sich jeder symmetrische Raum zerlegen lässt. Die Tabelle des Artikels nennt Klassen wie AI, AII, AIII, BDI, DIII, CI, CII sowie die exceptional cases EI bis EIX, FI, FII und G. Zu jeder Klasse werden die Gruppen G und K, die Dimension und der Rang angegeben. Beispiele aus der Tabelle sind AI mit G=SU(n), K=SO(n), Dimension (n-1)(n+2)/2 und Rang n-1; AIII mit G=SU(p+q), K=S(U(p)×U(q)), Dimension 2pq und Rang min(p,q); sowie FII mit G=F_4, K=Spin(9), Dimension 16 und Rang 1. Die Klassifikation irreduzibler symmetrischer Räume von nichtkompaktem Typ ergibt sich aus der Klassifikation kompakter symmetrischer Räume mithilfe des Dualitätsprinzips.