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Starkes Gesetz der großen Zahlen
Das starke Gesetz der großen Zahlen ist ein mathematischer Satz aus der Wahrscheinlichkeitstheorie, der Aussagen darüber trifft, wann eine Folge von …
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Kernaussage und Bedeutung
Das starke Gesetz der großen Zahlen ist ein klassischer Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitstheorie. Es beschreibt Bedingungen, unter denen normierte Summen beziehungsweise Mittelwerte von Zufallsvariablen fast sicher gegen eine Konstante konvergieren, meist gegen den Erwartungswert.
Für eine Folge von Zufallsvariablen (Xₙ) betrachtet man den Mittelwert der zentrierten Zufallsvariablen
X̄ₙ := (1/n) ∑ᵢ₌₁ⁿ (Xᵢ − E(Xᵢ)).
Die Folge genügt dem starken Gesetz der großen Zahlen, wenn
P(limₙ→∞ X̄ₙ = 0) = 1.
„Zentriert“ bedeutet hier, dass von jeder Zufallsvariablen ihr Erwartungswert abgezogen wird. „Fast sichere Konvergenz“ bedeutet, dass die Konvergenz für alle Ergebnisse mit Ausnahme einer Ereignismenge der Wahrscheinlichkeit 0 eintritt.
Starkes und schwaches Gesetz
Das starke und das schwache Gesetz der großen Zahlen unterscheiden sich durch die verwendete Konvergenzart. Das starke Gesetz macht eine Aussage über die fast sichere Konvergenz. Das schwache Gesetz verlangt lediglich stochastische Konvergenz, also Konvergenz in Wahrscheinlichkeit.
Aus dem starken Gesetz der großen Zahlen folgt immer das schwache Gesetz der großen Zahlen. Die starke Fassung liefert damit die weitergehende Konvergenzaussage.
Wichtige Gültigkeitsbedingungen
Es gibt mehrere Fassungen des starken Gesetzes, die unterschiedlich allgemeine Zufallsvariablen und unterschiedlich starke Voraussetzungen behandeln.
• Borels starkes Gesetz: Sind die Zufallsvariablen unabhängig und jeweils Bernoulli-verteilt mit Parameter p ∈ (0,1), dann konvergiert ihr Mittelwert fast sicher gegen p. Émile Borel bewies diese Aussage 1909. Sie entspricht der starken Form von Bernoullis Gesetz der großen Zahlen.
• Satz von Cantelli: Dieser Satz stellt Bedingungen an die vierten Momente und die zentrierten vierten Momente. Francesco Paolo Cantelli bewies ihn 1917. Er gilt als erstes Ergebnis zum starken Gesetz für Folgen von Zufallsvariablen mit beliebigen Verteilungen.
• Erstes Gesetz von Kolmogorow: Für eine unabhängige Folge (Xₙ) mit endlichen Varianzen gilt das starke Gesetz, falls
∑ₙ₌₁∞ Var(Xₙ)/n² < ∞.
Diese sogenannte Kolmogorow-Bedingung ermöglicht eine Abschätzung mithilfe der Kolmogorow-Ungleichung. Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow bewies die Aussage 1930.
• Zweites Gesetz von Kolmogorow: Ist (Xₙ) unabhängig und identisch verteilt und gilt E(|Xₙ|) < ∞, dann genügt die Folge dem starken Gesetz. Die Bedingung E(|Xₙ|) < ∞ bedeutet, dass der absolute Erwartungswert endlich ist. Kolmogorow bewies diesen Satz 1933.
Etemadis Verbesserung
Das starke Gesetz von Etemadi schwächt die Unabhängigkeitsvoraussetzung ab: Ist die Folge (Xₙ) identisch verteilt und paarweise unabhängig und gilt E(|Xₙ|) < ∞, dann genügt sie dem starken Gesetz der großen Zahlen.
„Paarweise unabhängig“ bedeutet, dass jeweils zwei verschiedene Zufallsvariablen unabhängig sind. Dies ist schwächer als die gemeinsame Unabhängigkeit der gesamten Folge. Aus vollständiger Unabhängigkeit folgt stets paarweise Unabhängigkeit; umgekehrt gilt dies im Allgemeinen nicht. Daher ist Etemadis Ergebnis eine echte Verbesserung gegenüber dem zweiten Gesetz von Kolmogorow. Nasrollah Etemadi bewies es 1981.
Andere Formulierungen und Verallgemeinerungen
Eine allgemeinere Formulierung verwendet die Partialsummen
Sₙ := ∑ᵢ₌₁ⁿ Xᵢ.
Die Folge genügt danach dem starken Gesetz, wenn reelle Folgen (bₙ) und (aₙ) existieren, wobei limₙ→∞ bₙ = ∞ gilt, und
Sₙ/bₙ − aₙ → 0
fast sicher konvergiert. Eine speziellere, häufig verwendete Form betrachtet dagegen die fast sichere Konvergenz von (1/n)∑ᵢ₌₁ⁿ Xᵢ gegen E(X₁). Diese Fassung setzt voraus, dass alle Zufallsvariablen denselben Erwartungswert besitzen.
Verallgemeinerungen sind der individuelle Ergodensatz und der Lp-Ergodensatz aus der Ergodentheorie. Sie können auf stationäre stochastische Prozesse (Xₙ) angewendet werden und erlauben daher auch stochastische Abhängigkeiten zwischen den Zufallsvariablen. Außerdem lässt sich das Gesetz der großen Zahlen auf vektorwertige Abbildungen übertragen; Kriterien dafür liefert unter anderem der Satz von Mourier.
