Schriftliches Wurzelziehen

Grundidee und Bedeutung

Das schriftliche Wurzelziehen ist ein Verfahren, mit dem die Quadratwurzel einer rationalen Zahl ohne Rechner berechnet werden kann. Es ähnelt der schriftlichen Division: In jedem Rechenschritt wird eine weitere Stelle des Ergebnisses bestimmt. Grundlage sind die binomischen Formeln.

Das Verfahren wird heute in der Schule kaum noch gelehrt und wurde auch früher nur selten verwendet. Gründe sind die geringere praktische Bedeutung gegenüber den Grundrechenarten sowie einfachere iterative Verfahren, etwa das Heron-Verfahren (babylonisches Wurzelziehen), die meist schneller eine ausreichende Näherung liefern.

Die Berechnung kann beendet werden, wenn der Radikand durch die Subtraktionen auf 0 reduziert wurde. Dann ist er eine Quadratzahl. Alternativ werden so viele Nachkommastellen berechnet, wie für die gewünschte Genauigkeit nötig sind; dazu können an den Radikanden beliebig viele Nullen angehängt werden.

Verfahren für die Quadratwurzel

Der Radikand wird vom Komma ausgehend nach rechts und links in Gruppen von jeweils zwei Stellen eingeteilt. Die vorderste Gruppe liefert die erste Ergebnisstelle: Gesucht wird die größte einstellige Zahl, deren Quadrat nicht größer als die vorderste Gruppe ist. Dieses Quadrat wird subtrahiert. Die Differenz wird anschließend mit der nächsten Zweiergruppe des Radikanden ergänzt.

Für jede weitere Stelle wird die erste binomische Formel verwendet:

(a+b)² = a² + 2ab + b².

Dabei ist a das bisherige Ergebnis, zur stellengerechten Darstellung mit einer angehängten Null, und b die gesuchte nächste Ziffer. Der Anteil a² wurde in den vorherigen Schritten bereits berücksichtigt. Deshalb müssen nun 2ab und b² abgezogen werden.

Praktisch wird die bisher entstandene Zahl durch 2a geteilt. Der abgerundete Quotient liefert einen möglichen Wert für b. Dieser Wert darf jedoch nur verwendet werden, wenn der verbleibende Rest mindestens b² beträgt. Danach werden 2ab und b² subtrahiert, die nächste Zweiergruppe wird herabgezogen und der Vorgang wiederholt. Die eingerückte Darstellung entspricht der schriftlichen Division und konzentriert die Rechnung auf die jeweils relevanten Stellen.

Typische Beispielrechnungen

Bei √2916 wird der Radikand in die Gruppen 29 und 16 zerlegt. Die größte Quadratzahl bis 29 ist 25 = 5 · 5. Damit lautet die erste Ergebnisziffer 5 und es bleibt 29 − 25 = 4. Zusammen mit der nächsten Gruppe entsteht 416.

Für die zweite Ziffer wird durch 2 · 50 = 100 geteilt: 416 : 100 = 4 mit Rest 16. Da dieser Rest genau 4² entspricht, werden 400 und anschließend 16 subtrahiert. Es bleibt 0, also gilt √2916 = 54. Das vollständige Aufgehen zeigt ohne zusätzliche Probe, dass 2916 tatsächlich eine Quadratzahl ist.

Zum Vergleich liefert das Heron-Verfahren bei 2916 und dem Startwert 50 nach zwei Iterationen die Näherung x ≈ 54,00023. Mit 2916 als Startwert sind für ein vergleichbares Ergebnis etwa zehn Rechenschritte nötig.

Für √2538413,6976 wird die erste Gruppe 2 verwendet. Von ihr wird 1 als größte passende Quadratzahl abgezogen, sodass 1 bleibt. Nach dem Herabziehen der nächsten Gruppe entsteht 153. Die letzte Stelle wird zunächst nicht berücksichtigt: 15 wird durch das Doppelte des bisherigen Ergebnisses, also 2, geteilt. Der abgerundete Quotient ist 7. Da 27 · 7 = 189 und 26 · 6 = 156 noch zu groß sind, wird bis 25 · 5 = 125 vermindert. Die nächste Ergebnisziffer ist 5. Nach Fortsetzung des Verfahrens erhält man √2538413,6976 = 1593,24.

Erweiterungen und weitere Beispiele

Das Prinzip lässt sich auf Kubikwurzeln und höhere Wurzeln übertragen. Bei einem Wurzelexponenten n > 2 wird der Radikand nicht in Zweiergruppen, sondern in Gruppen der Länge n eingeteilt. Für jeden Schritt wird die binomische Formel des entsprechenden Grades verwendet. Ab dem dritten Grad werden die Gleichungen zunehmend komplex und dadurch unhandlich. Die gesamte Rechnung kann außerdem in einem Stellenwertsystem mit einer anderen Basis als 10 ausgeführt werden.

Die Beispiele zeigen die Erweiterung des Verfahrens:

• Die binäre Quadratwurzel aus 2 wird im Zahlensystem zur Basis 2 berechnet; die dargestellten Ergebnisziffern beginnen mit 1,01101₂.
• Für die Quadratwurzel aus 3 ergibt die Rechnung die Näherung 1,73205.
• Für die Kubikwurzel aus 5 werden Dreiergruppen verwendet. In den Rechenschritten treten Ausdrücke der Form 300a²b + 30ab² + b³ auf; die dargestellte Näherung beginnt mit 1,70997.
• Für die vierte Wurzel aus 7 werden Vierergruppen verwendet. Die verwendeten Terme haben die Form 4000a³b + 600a²b² + 40ab³ + b⁴; die dargestellte Näherung beginnt mit 1,62657.

Damit ist schriftliches Wurzelziehen nicht auf Quadratwurzeln im Dezimalsystem beschränkt, sondern grundsätzlich auf höhere Wurzelexponenten und andere Zahlensysteme erweiterbar.