Satz von Landau (Funktionentheorie)

Kernaussage und Voraussetzungen

Der Satz von Landau gehört zur Funktionentheorie und gibt eine obere Abschätzung für die Ableitung bestimmter holomorpher Funktionen auf dem offenen Einheitskreis. Eine Funktion heißt holomorph, wenn sie in jedem Punkt ihres Definitionsgebiets komplex differenzierbar ist.

Gegeben sind der offene Einheitskreis

\mathbb{E}=\{z\in\mathbb{C}:|z|<1\}

und eine holomorphe Funktion f\colon\mathbb{E}\to\mathbb{C}. Für zwei komplexe Zahlen a_0 und a_1 gelten die Anfangsbedingungen

f(0)=a_0 und f'(0)=a_1.

Außerdem darf die Funktion im gesamten Einheitskreis weder den Wert 0 noch den Wert 1 annehmen. Für alle z\in\mathbb{E} gilt also

f(z)\neq 0 und f(z)\neq 1.

Unter diesen Voraussetzungen existiert eine positive obere Schranke M(a_0)>0, die ausschließlich vom Funktionswert a_0=f(0) abhängt und für die

|a_1|\leq M(a_0)

gilt. Damit lässt sich der Betrag der Ableitung im Ursprung allein durch den dortigen Funktionswert beschränken.

Bestmögliche Schranke

Die obere Schranke kann ausdrücklich und bestmöglich angegeben werden. Es gilt stets

|a_1|\leq 2\cdot |a_0|\cdot\bigl(|\ln(|a_0|)|+A\bigr),

wobei

A=\frac{\left(\Gamma(\tfrac14)\right)^4}{4\pi^2}\approx 4{,}377

ist. Dabei bezeichnet \ln den natürlichen Logarithmus und \Gamma die Gammafunktion. Die Formel präzisiert die allgemein formulierte Schranke M(a_0): Der Betrag |f'(0)|=|a_1| ist höchstens 2|a_0|\bigl(|\ln(|a_0|)|+A\bigr).