Rutherford-Streuung

Kernidee und Versuchsaufbau

Die Rutherford-Streuung beschreibt die Ablenkung geladener Teilchen durch die Coulomb-Kraft an einem punktförmigen geladenen Streuzentrum. Im ursprünglichen Versuch wurden Alpha-Teilchen an Gold-Atomkernen gestreut. Die Teilchenbahnen sind dabei Hyperbeln. Die Winkelverteilung zeigte, dass positive Ladung und Masse eines Atoms in einem extrem kleinen zentralen Bereich konzentriert sind.

Der Versuch wurde unter Ernest Rutherfords Leitung in Manchester von 1909 bis 1913 durchgeführt; beteiligt waren Hans Geiger und Ernest Marsden. Ein radioaktiver Stoff befand sich in einem Bleiblock mit Öffnung. Er sendete Alpha-, Beta- und Gamma-Strahlung aus. Ein elektrisches Feld trennte die Strahlungsarten: Negative Elektronen der Beta-Strahlung wurden zum positiven Pol, positive Helium-Atomkerne der Alpha-Strahlung zum negativen Pol abgelenkt; die Richtung der ungeladenen Gamma-Photonen blieb unverändert.

Die Alpha-Strahlung wurde senkrecht auf eine 0,5 μm dicke Goldfolie gerichtet, die ungefähr 1000 Atome hintereinander enthielt. Ein Leucht- oder Fotografieschirm machte die aus der Folie austretenden Teilchen sichtbar. Gold wurde gewählt, weil es sich mechanisch sehr dünn herstellen lässt und eine hohe Atommasse besitzt.

Beobachtung und Atommodell

Die wichtigsten Beobachtungen waren:

• Fast alle Alpha-Teilchen durchdrangen die Goldfolie ungehindert.
• Ein kleiner Teil wurde abgelenkt.
• Mit zunehmendem Ablenkwinkel nahm die Häufigkeit der Ablenkung ab.
• Etwa jedes 100.000ste Alpha-Teilchen wurde um mehr als 90° und bis nahe an 180° abgelenkt.

Die meisten Teilchen konnten die Folie passieren, weil zwischen den Atomkernen ein großer Freiraum liegt. Die seltenen starken Ablenkungen lassen sich durch ein sehr kleines, positiv geladenes Massezentrum erklären, den Atomkern. Daraus entstand das rutherfordsche Atommodell. Die Elektronen bewegen sich in dem im Verhältnis zum Kerndurchmesser riesigen leeren Raum um den Kern und schirmen dessen positive Ladung ab, sodass das Atom nach außen neutral erscheint.

Damit widersprach das Ergebnis dem thomsonschen Atommodell, nach dem die positive Ladung homogen im gesamten Atom verteilt ist. Besonders überraschend waren Rückwärtsstreuungen bis nahe 180°; Rutherford verglich ihre Unwahrscheinlichkeit mit einer Kugel, die beim Schuss auf einen Wattebausch zurückprallt.

Rutherfordsche Streuformel

Die rutherfordsche Streuformel gibt den differentiellen Wirkungsquerschnitt, auch Streuquerschnitt genannt, in Abhängigkeit vom Streuwinkel ϑ im Schwerpunktsystem an:

dσ/dΩ = ((e²/(4π ε₀)) · (Z₁Z₂/(4E₀)))² · 1/sin⁴(ϑ/2)

In kernphysikalisch praktischen Einheiten lautet sie:

dσ/dΩ [barn] ≈ 1,3 · 10⁻³ · (Z₁Z₂/E₀ [MeV])² · 1/sin⁴(ϑ/2)

Die Formel beschreibt die Wahrscheinlichkeitsdichte dafür, dass ein Teilchen um den Winkel ϑ abgelenkt wird. Für ein Raumwinkelelement ΔΩ = Δϑ Δφ ergibt sich die erwartete Teilchenzahl aus (dσ/dΩ) · ΔΩ, multipliziert mit der Teilchenstromdichte der einfallenden Teilchen, der Anzahl der Streuzentren im Teilchenstrom und der Messzeit.

Dabei sind ε₀ = 8,854 · 10⁻¹² C/(Vm) die elektrische Feldkonstante, Z₁e die Ladung eines Teilchens im einfallenden Strahl, Z₂e die Kernladung, e = 1,602 · 10⁻¹⁹ C die Elementarladung und E₀ die Energie des einfallenden Teilchens. Der numerische Vorfaktor folgt aus der Feinstrukturkonstanten α = (1/(4π ε₀)) · (e²/(ℏc)) ≈ 1/137 und ℏc ≈ 197 MeV · fm.

Klassische Herleitung

Rutherford leitete die Formel klassisch her. Für ein Alpha-Teilchen mit kinetischer Anfangsenergie Eα, das genau auf das Kraftzentrum zufliegt, ist der Stoßparameter b = 0. Die Coulomb-Kraft beträgt F = (e²/(4π ε₀)) · (Z₁Z₂/r²). Das Teilchen nähert sich dem Zentrum auf gerader Linie bis zum Abstand

2a = Z₁Z₂e²/(4π ε₀Eα).

Dort ist die Anfangsenergie vollständig in potentielle Energie umgewandelt. Das Teilchen kehrt auf derselben Geraden zurück; der Ablenkwinkel beträgt ϑ = 180°.

Für b > 0 ist die Bahn wegen der invers-quadratischen Abhängigkeit der Kraft ein Hyperbelast. Der Ablenkwinkel lautet ϑ = 180° − 2Φ, wobei Φ der Winkel zwischen einer Asymptote und der x-Achse ist. Die halbe Nebenachse der Hyperbel ist b, die halbe Hauptachse ist a. Für die Hyperbel x²/a² − y²/b² = 1 gilt tan Φ = b/a. Daraus folgt:

cot(ϑ/2) = b/a

und damit

b(ϑ) = a cot(ϑ/2).

Der Parameter a ist die Hälfte des minimalen Abstands, den das Alpha-Teilchen bei gegebener Anfangsenergie Eα erreichen kann. Für einen kleinen Winkelbereich Δϑ gilt

Δb = (db/dϑ)Δϑ = −a/(2 sin²(ϑ/2)) · Δϑ.

Die zugehörigen Teilchenbahnen bilden vor dem Stoß einen Kreisring mit der Fläche Δσ = 2πb|Δb|. Dieser Wirkungsquerschnitt gehört zum Raumwinkel ΔΩ = 2π sin ϑ Δϑ. Einsetzen und Verwenden von sin ϑ = 2 sin(ϑ/2) cos(ϑ/2) ergibt die rutherfordsche Streuformel.

Gültigkeit und Grenzen

Eine vollständige quantenmechanische Behandlung liefert in der bornschen Näherung für die Intensität der gestreuten Teilchen dieselbe Streuformel. Höhere quantenmechanische Näherungen und die exakte Lösung der Schrödinger-Gleichung verändern nur die quantenmechanische Phase der Streuwelle. Das kann sich auswirken, wenn Wellen verschiedener Ablenkwinkel kohärent überlagert werden, etwa bei der Streuung identischer Teilchen.

Die Formel besitzt bei ϑ = 0 eine Singularität: Der differentielle Wirkungsquerschnitt wird dort unendlich groß. Das Modell einer Punktladung versagt für diese kleinen Winkel, weil sie großen Stoßparametern und damit großen Abständen vom Atomkern entsprechen. In diesen Bereichen schirmen die Atomelektronen das elektrische Feld des Kerns ab.