Rechendreieck

Aufbau und Bedeutung

Ein Rechendreieck ist ein gleichseitiges Dreieck, das durch die Seitenhalbierenden vom Mittelpunkt aus in drei symmetrische Teilflächen gegliedert ist. In jeder Teilfläche steht eine Innenzahl. An jeder Seite steht eine Außenzahl. Sie ist die Summe der beiden Innenzahlen, die an dieser Seite liegen.

Die Beziehungen zwischen den Zahlen werden durch die Anordnung im Dreieck und die Additionsregel dargestellt. Deshalb ist keine mathematische Notation für Gleichungen erforderlich. Mathematisch betrachtet entspricht ein Rechendreieck einem Gleichungssystem aus drei linearen Gleichungen mit drei Variablen.

Außenzahlen aus Innenzahlen

Sind alle drei Innenzahlen gegeben, werden jeweils zwei benachbarte Innenzahlen addiert. Das Ergebnis wird als Außenzahl an ihre gemeinsame Seite geschrieben.

Beispiel mit den Innenzahlen 1, 8 und 3:

• 1 + 8 = 9 • 1 + 3 = 4 • 8 + 3 = 11

Damit lauten die drei Außenzahlen 9, 4 und 11; ihre genaue Position richtet sich jeweils nach dem zugehörigen Paar von Innenzahlen.

Fehlende Innenzahlen durch Subtraktion

Fehlen eine oder zwei Innenzahlen, während passende Außen- und Innenzahlen bekannt sind, verwendet man die umgekehrte Rechnung. Von einer Außenzahl wird die bekannte, an derselben Seite liegende Innenzahl subtrahiert. Das Ergebnis ist die fehlende benachbarte Innenzahl.

Beispiel: Sind an einer Seite die Außenzahl 11 und die Innenzahl 9 gegeben, ergibt sich die zweite Innenzahl durch 11 − 9 = 2. Danach wird die 2 an der entsprechenden Stelle eingetragen.

Berechnung nur aus Außenzahlen

Sind nur die drei Außenzahlen gegeben, lassen sich die Innenzahlen systematisch bestimmen:

• Zuerst werden alle Außenzahlen addiert. • Diese Summe wird durch zwei geteilt. Das Ergebnis ist die Summe aller drei Innenzahlen. • Anschließend wird eine beliebige Außenzahl von der Summe der Innenzahlen abgezogen. Das Ergebnis ist die Innenzahl, die dieser Außenzahl gegenüberliegt. • Mit Addition und Subtraktion können danach die übrigen Innenzahlen berechnet werden.

Dieses Verfahren funktioniert, weil jede Innenzahl in genau zwei Außenzahlen eingeht. Deshalb ist die Summe der Außenzahlen doppelt so groß wie die Summe der Innenzahlen und damit immer gerade.

Beispiel mit drei Außenzahlen

Gegeben sind die Außenzahlen 8, 11 und 13. Zunächst wird ihre Summe berechnet:

8 + 11 + 13 = 32

Durch Halbieren erhält man die Summe der drei Innenzahlen:

32 ÷ 2 = 16

Nun wird beispielsweise die Außenzahl 11 von diesem Zwischenergebnis abgezogen:

16 − 11 = 5

Die gegenüber der Außenzahl 11 liegende Innenzahl ist somit 5. Die restlichen Innenzahlen lassen sich anschließend mit den bereits beschriebenen Methoden bestimmen.