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Partition eines Intervalls
Eine Partition eines Intervalls ist in der Mathematik eine endliche, streng aufsteigende Folge, die das Intervall in Teilintervalle aufteilt, so dass deren …
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Grundidee und Definition
Eine Partition eines Intervalls ist eine endliche, streng aufsteigende Folge von Punkten, die ein Intervall in Teilintervalle zerlegt. Die Vereinigung dieser Teilintervalle ergibt wieder das ursprüngliche Intervall. Der Begriff ist in der Mathematik grundlegend, besonders für die Definition der Variation.
Für ein reelles kompaktes Intervall [a,b] mit a,b\in \mathbb{R}\cup\{\pm\infty\} ist eine Partition eine endliche Folge \Pi_n=(t_0,t_1,\dots,t_n), für die gilt: a=t_0<t_1<\dots<t_n=b.
Ein Teilintervall der Partition \Pi_n ist ein Intervall der Form [t_i,t_{i+1}] mit t_i,t_{i+1}\in\Pi_n und i=0,\dots,n-1.
Norm oder Maschenweite
Die Norm, auch Maschenweite genannt, misst die Länge des größten Teilintervalls einer Partition. Sie wird mit |\Pi_n| bezeichnet.
Die Definition lautet: |\Pi_n|:=\sup\{t_{i+1}-t_i:t_{i+1},t_i\in\Pi_n\}.
Das Supremum \sup bezeichnet hier die kleinste obere Schranke der betrachteten Längen. Bei einer endlichen Partition entspricht die Norm anschaulich der größten Länge zwischen zwei benachbarten Teilstellen.
Verfeinerung
Eine Partition kann verfeinert werden, indem zusätzliche Teilstellen eingefügt werden. Hat man zwei Partitionen \Pi_n und \Pi_m desselben Intervalls [a,b] und gilt \Pi_n\subseteq\Pi_m, dann ist \Pi_m eine Verfeinerung von \Pi_n.
Dann hat \Pi_m die Form: \Pi_m=\Pi_n\cup\{t_{i_{n+1}},t_{i_{n+2}},\dots,t_{i_m}\}.
Im Fall m=n wurden keine neuen Punkte hinzugefügt; dann gilt \Pi_m=\Pi_n.
Folgen von Partitionen
Oft betrachtet man nicht nur eine einzelne Partition, sondern Folgen von Partitionen desselben Intervalls [a,b]. Solche Folgen können eine feste Tupellänge haben oder mit wachsender Länge immer feiner werden.
Bei Folgen mit konstanter Länge haben alle Partitionen dieselbe Tupellänge n, also die Form (t_0,\dots,t_n). Man schreibt dann: a=t_0^{(N)}<t_1^{(N)}<\dots<t_n^{(N)}=b.
Häufig interessiert man sich aber für Folgen von Verfeinerungen: \dots\subseteq\Pi_n^{(N)}\subseteq\Pi_m^{(N+1)}\subseteq\dots Dabei soll die Norm gegen 0 gehen: \lim_{N\to\infty}|\Pi_{n(N)}^{(N)}|=0. Das bedeutet: Die größten Teilintervalle werden in der Folge immer kleiner.
Dyadische Partitionen
Eine wichtige spezielle Art von Partitionen sind dyadische Partitionen. Für ein Intervall [0,T] ist die dyadische Partition \tau_n der Ordnung n die gleichmäßige Zerlegung des Intervalls in Teilstücke mit Stellen \tau_n=\left\{\frac{kT}{2^n}:k=0,\dots,2^n\right\}.
Die Folge dyadischer Partitionen (\tau_n)_n ist verfeinert, denn es gilt \tau_n\subset\tau_{n+1} für alle n. Jede neue Ordnung fügt also weitere Teilstellen hinzu.
Die 2^n Intervalle werden angegeben durch I_n^k=]t_n^{k-1},t_n^k],\quad k=1,\dots,2^n, wobei t_n^k:=\frac{kT}{2^n} die k-te Teilstelle bezeichnet.